![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
avvaНесложная, но красивая. Комменты скрывать не буду, так что там могут появиться вскорости правильные решения — те, кто хотят сами подумать, учтите это.
Дано бесконечное количество точек на плоскости, так, что расстояние между любыми двумя из этих точек — целое число. Доказать, что все они лежат на одной прямой.
Дано бесконечное количество точек на плоскости, так, что расстояние между любыми двумя из этих точек — целое число. Доказать, что все они лежат на одной прямой.
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2003-05-22 06:26 pm (UTC)no subject
Date: 2003-05-23 02:53 am (UTC)no subject
Date: 2003-05-22 06:40 pm (UTC)no subject
Date: 2003-05-22 07:02 pm (UTC)no subject
Date: 2003-05-23 02:53 am (UTC)no subject
Date: 2003-05-22 08:02 pm (UTC)п.с. смухлевал? :)
no subject
Date: 2003-05-22 08:10 pm (UTC)Тут скорее что-то про множество состоящее из чисел a, b, c, где a^2 + b^2 = c^2 и a, b, c -- integers.
no subject
Date: 2003-05-22 08:21 pm (UTC):)
no subject
Date: 2003-05-22 08:31 pm (UTC)no subject
Date: 2003-05-23 12:42 am (UTC)Треугольники
Date: 2003-05-22 11:08 pm (UTC)В качестве примера возьмите стороны 2, 3, 4. :)
no subject
Date: 2003-05-22 08:14 pm (UTC)Но вообще, конечно - через треугольник - правильно :)
no subject
Date: 2003-05-22 08:53 pm (UTC)no subject
Date: 2003-05-22 09:04 pm (UTC)А вдруг точка в основании перпендикуляра не принадлежит множеству целых чисел?
no subject
Date: 2003-05-22 09:12 pm (UTC)no subject
Date: 2003-05-22 09:23 pm (UTC)no subject
Date: 2003-05-23 04:24 am (UTC)2. “Тогда перпендикуляр от этой точки к прямой является целым числом, согласно условию задачи” такого не говорилось, но это интересный частный случай.
3. “что составит целое число лишь в исключительных случаях” – это еще доказать надо, хотя доказать несложно, конечно
no subject
Date: 2003-05-23 04:52 am (UTC)Пусть a - длина перпендикуляра (не обязательно целое число).
Пусть b - расстояние по прямой от основания перпендикуляра до ближайшей точки множества, назовем ее В (без ограничения общности идем от основания по прямой влево). Докажем, что слева от основания перпендикуляра на прямой конечное число точек. Если точек было бы бесконечно, то для любого n существовало бы m, такое, что (n+m)^2 + (n+b)^2 = a^2, что равносильно:
2n(m-b) + m^2 = a^2 + b^2. При достаточно больших n условие выполняется только если m=b, a=0, т.е. точка на прямой. Противоречие.
Осталось доказать, что существует прямая, на которой было бы бесконечное число точек данного множества. Как это доказывать я не знаю, вообще, мне кажется данный пусть решения "через прямую" тупиковый
no subject
Date: 2003-05-23 12:10 am (UTC)Допустим, точки не лежат на одной плоскости.
Тогда, во множестве точек выберем треугольник (ABC).
Нетрудно показать, что раз расстояния между точками должны быть целыми (т.е. >= 1), а число точек бесконечно, то для любого заданного расстояния существует бесконечное множество точек, находящихся на большем расстоянии от (любой точки) выбранного нами треугольника.
Возьмем произвольную точку вне треугольника (O). Между как минимум одной (точнее двумя) парой векторов OA, OB, OC - ненулевой угол. При этом OA, OB, OC имеют целую длину (как и AB, AC, BC).Назовем направлением произвольную прямую с проекциями точек (относя параллельные прямые к одному и тому же направлению). Существует конечное число направлений, для которых самая длинная проекция ребра выбранного треугольника является целым числом (p' <= p). При этом, пусть p = AB (p' = A'B'), тогда C' (проекция точки C) принадлежит отрезку A'B'.
Рассмотрим некоторое направление. Для него ищем все точки множества, для которых |OA - OB| = p', т.е. если OA = n, то OB = n +/- p' (т.е. может быть не более двух точек для заданных n и p'). Но при этом и OC также должно быть целым.
Дальше получается два варианта:
если A'C' - целое и если A'C' нецелое.
Во втором случае, т.к. OC -> OA + A'C' при n->inf, то мы можем взять некоторое заведомо большое, но конечное N, при котором если OA>N, то OC не будет целым. Т.к. других точек, отвечающих условию задачи, нет, то по данному направлению мы не можем построить бесконечное множество точек.
Если же A'С' целое, то, грубо говоря, т.к. точки не лежат на одной прямой, то в общем случае OC != OA + A'C', хотя и сколь угодно близко при достаточно большом n, т.е. также не может быть целым.
Окончательно, т.к. существует конечное число направлений, по каждому из которых можно найти не более чем конечное число точек, отвечающих условию: {OA, OB, OC - целые} (что слабее, чем условие задачи), то невозможно построить бесконечное множество точек, не лежащих на одной прямой, с целыми расстояниями.
no subject
Date: 2003-05-23 12:47 am (UTC)А вот такой вариант задачи - сколько точек можно расположить на плоскости так, чтобы никакие три не лежали на одной прямой и расстояния между любыми двумя были бы целыми?
no subject
Date: 2003-05-23 01:02 am (UTC)4; например, прямоугольник 4х3.
no subject
Date: 2003-05-23 01:17 am (UTC)no subject
Date: 2003-05-23 01:21 am (UTC)а во-вторых, тогда я совсем ничего не понял.
no subject
Date: 2003-05-23 01:40 am (UTC)(576, 168)
(225, 300)
(0,0)
(225, -300)
(576, -168)
:)
про во-вторых
Date: 2003-05-23 02:05 am (UTC)Если то, что к четырем точкам не на одной прямой с целочисленными расстояниями нельзя поставить пятую на целом же расстоянии от каждой, то здесь мы видим опровержение.
Re: про во-вторых
Date: 2003-05-23 02:24 am (UTC)no subject
Date: 2003-05-23 02:47 am (UTC)Навеяло...
Через любые три точки можно провести прямую достаточной ширины.
no subject
Date: 2003-05-23 03:53 am (UTC)Если ослабить условие и допустить существование двух точек в этом множестве с расстоянием 1 друг от друга, то задачку можно было бы раскрутить, а так даже не видно с какого конца браться