задачка

[avva]

Несложная, но красивая. Комменты скрывать не буду, так что там могут появиться вскорости правильные решения — те, кто хотят сами подумать, учтите это.

Дано бесконечное количество точек на плоскости, так, что расстояние между любыми двумя из этих точек — целое число. Доказать, что все они лежат на одной прямой.

Comments

[urs.livejournal.com]

1. Даже если Вы докажите что утверждение “все точки находятся на прямой, и лишь одна из них – вне прямой” противоречиво, то это еще будет далеко не решение. Вполне возможна ситуация, когда вообще не существует ни одной прямой, на которой было бы бесконечное число точек. Это самый сложный момент задачи
2. “Тогда перпендикуляр от этой точки к прямой является целым числом, согласно условию задачи” такого не говорилось, но это интересный частный случай.
3. “что составит целое число лишь в исключительных случаях” – это еще доказать надо, хотя доказать несложно, конечно

[urs.livejournal.com]

Доказать для случая, когда перпендикуляр не целове число, тоже несложно.
Пусть a - длина перпендикуляра (не обязательно целое число).
Пусть b - расстояние по прямой от основания перпендикуляра до ближайшей точки множества, назовем ее В (без ограничения общности идем от основания по прямой влево). Докажем, что слева от основания перпендикуляра на прямой конечное число точек. Если точек было бы бесконечно, то для любого n существовало бы m, такое, что (n+m)^2 + (n+b)^2 = a^2, что равносильно:
2n(m-b) + m^2 = a^2 + b^2. При достаточно больших n условие выполняется только если m=b, a=0, т.е. точка на прямой. Противоречие.
Осталось доказать, что существует прямая, на которой было бы бесконечное число точек данного множества. Как это доказывать я не знаю, вообще, мне кажется данный пусть решения "через прямую" тупиковый