задачка

[avva]

Несложная, но красивая. Комменты скрывать не буду, так что там могут появиться вскорости правильные решения — те, кто хотят сами подумать, учтите это.

Дано бесконечное количество точек на плоскости, так, что расстояние между любыми двумя из этих точек — целое число. Доказать, что все они лежат на одной прямой.

Comments

[urs.livejournal.com]

Доказать для случая, когда перпендикуляр не целове число, тоже несложно.
Пусть a - длина перпендикуляра (не обязательно целое число).
Пусть b - расстояние по прямой от основания перпендикуляра до ближайшей точки множества, назовем ее В (без ограничения общности идем от основания по прямой влево). Докажем, что слева от основания перпендикуляра на прямой конечное число точек. Если точек было бы бесконечно, то для любого n существовало бы m, такое, что (n+m)^2 + (n+b)^2 = a^2, что равносильно:
2n(m-b) + m^2 = a^2 + b^2. При достаточно больших n условие выполняется только если m=b, a=0, т.е. точка на прямой. Противоречие.
Осталось доказать, что существует прямая, на которой было бы бесконечное число точек данного множества. Как это доказывать я не знаю, вообще, мне кажется данный пусть решения "через прямую" тупиковый