задачка

[avva]

Несложная, но красивая. Комменты скрывать не буду, так что там могут появиться вскорости правильные решения — те, кто хотят сами подумать, учтите это.

Дано бесконечное количество точек на плоскости, так, что расстояние между любыми двумя из этих точек — целое число. Доказать, что все они лежат на одной прямой.

Comments

[alexmoskalyuk.livejournal.com]

Предположим, что все точки находятся на прямой, и лишь одна из них – вне прямой. Тогда перпендикуляр от этой точки к прямой является целым числом, согласно условию задачи. Расстояние от этой точки до любой другой точки на прямой также является целым числом. Таким образом всегда имеем прямоугольный треугольник с катетом и гипотенузой, представленными целым числом. Длина второго катета тогда составляет sqrt (h^2 – k^2), что составит целое число лишь в исключительных случаях. Т.е. число точек тогда может быть только конечным. От противного делаем вывод, что все точки расположены на единой прямой, так как тогда длина перпендикуляра равна 0, а h == k.

[plus25c.livejournal.com]

Тогда перпендикуляр от этой точки к прямой является целым числом, согласно условию задачи.

А вдруг точка в основании перпендикуляра не принадлежит множеству целых чисел?

[plus25c.livejournal.com]

...пардон, множеству тех точек, расстояния между которыми являются целыми числами.

[alexmoskalyuk.livejournal.com]

Да, верно подмечено, выбирать месторасположение точек и создавать новые нам не дано.

[urs.livejournal.com]

1. Даже если Вы докажите что утверждение “все точки находятся на прямой, и лишь одна из них – вне прямой” противоречиво, то это еще будет далеко не решение. Вполне возможна ситуация, когда вообще не существует ни одной прямой, на которой было бы бесконечное число точек. Это самый сложный момент задачи
2. “Тогда перпендикуляр от этой точки к прямой является целым числом, согласно условию задачи” такого не говорилось, но это интересный частный случай.
3. “что составит целое число лишь в исключительных случаях” – это еще доказать надо, хотя доказать несложно, конечно

[urs.livejournal.com]

Доказать для случая, когда перпендикуляр не целове число, тоже несложно.
Пусть a - длина перпендикуляра (не обязательно целое число).
Пусть b - расстояние по прямой от основания перпендикуляра до ближайшей точки множества, назовем ее В (без ограничения общности идем от основания по прямой влево). Докажем, что слева от основания перпендикуляра на прямой конечное число точек. Если точек было бы бесконечно, то для любого n существовало бы m, такое, что (n+m)^2 + (n+b)^2 = a^2, что равносильно:
2n(m-b) + m^2 = a^2 + b^2. При достаточно больших n условие выполняется только если m=b, a=0, т.е. точка на прямой. Противоречие.
Осталось доказать, что существует прямая, на которой было бы бесконечное число точек данного множества. Как это доказывать я не знаю, вообще, мне кажется данный пусть решения "через прямую" тупиковый