задачка

[avva]

Несложная, но красивая. Комменты скрывать не буду, так что там могут появиться вскорости правильные решения — те, кто хотят сами подумать, учтите это.

Дано бесконечное количество точек на плоскости, так, что расстояние между любыми двумя из этих точек — целое число. Доказать, что все они лежат на одной прямой.

Comments

[p-k.livejournal.com]

Возьмем четыре точки - A, B, C, D. Условие, что для пятой точки E верно, что |EA|-|EB| \in Z и |EC|-|ED| \in Z есть пересечение двух квадрик. Если таких пересечений больше 4, то это не общее положение => квадрики совпадают. Так как A, B и C, D являются фокальными точками, и все разные, то квадрики должны быть вырожденными, то есть быть парой совпадающих прямых, на которых лежат A, B, C, D. Поскольку точки были выбраны произвольно, то любые 4 точки лежат на одной прямой => все лежат на одной прямой.

А вот такой вариант задачи - сколько точек можно расположить на плоскости так, чтобы никакие три не лежали на одной прямой и расстояния между любыми двумя были бы целыми?

[mudak.livejournal.com]

Я, честно говоря, ничего не понял, но если решение правильное, т.е. пятую точку уже не поставишь согласно условию, то ваша-то задача тривиальна:
4; например, прямоугольник 4х3.

[p-k.livejournal.com]

Пятую точку можно поставить - прямоугольник 8x6 с точкой в центре...

[mudak.livejournal.com]

Хм, ну, во-первых, тут есть три точки на одной прямой,
а во-вторых, тогда я совсем ничего не понял.

[p-k.livejournal.com]

Ага, есть. Но можно и без того:
(576, 168)
(225, 300)
(0,0)
(225, -300)
(576, -168)
:)

про во-вторых

[mudak.livejournal.com]

Тогда я не понял, что же было доказано сперва? :(
Если то, что к четырем точкам не на одной прямой с целочисленными расстояниями нельзя поставить пятую на целом же расстоянии от каждой, то здесь мы видим опровержение.

Re: про во-вторых

[p-k.livejournal.com]

Доказано, что если можно, то конечное количество. Да, про квадрики (или коники) - их не две, а два конечных семейства.

[avva.livejournal.com]

Ого! ;-)