![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
avvaКрасота теоремы Громова, доказавшего равенство "группы с полиномиальным ростом" = "почти нильпотентные группы", не перестаёт меня тревожить уже много месяцев, с тех пор, как я случайно её коснулся. Очень хочется прочитать и понять доказательство, но не верю, увы, что оно мне будет доступно и понятно; а чтобы было доступно, надо много чего изучить, на что времени нету.
И всё равно — тревожит и волнует.
И всё равно — тревожит и волнует.
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2003-05-27 05:57 am (UTC)Re:
Date: 2003-05-27 05:59 am (UTC)no subject
Date: 2003-05-27 06:00 am (UTC)ого!
Date: 2003-05-27 06:01 am (UTC)Буду страшно признателен!
Re:
Date: 2003-05-27 06:02 am (UTC)Не уверен, что оно хорошо получилось, правда -- я торопился слишком. Я пытался там подчеркнуть, насколько мог, то взаимопроникновение и переплетение синтаксиса и семантики, которое является, по моему убеждению, наиболее важной и красивой гранью современной логики.
Re: ого!
Date: 2003-05-27 06:03 am (UTC)Ронни
Date: 2003-05-27 06:06 am (UTC)Прямую ссылочку можно?
Впрочем, я дурак. Я в вашем журнале сейчас поищу.
Ронни
Date: 2003-05-27 06:08 am (UTC)no subject
Date: 2003-05-27 06:13 am (UTC)Она была переведена на русский еше в 85 году.
Частично ее текст можно прочитать на http://golovolomka.hobby.ru/
Но к сожалению как раз части про теорему Геделя на этом сайте и нет.
no subject
Date: 2003-05-27 06:22 am (UTC)Смульян вообще гений.
И всё же в его книге он подходит постепенно к объяснению только слабого, "семантического" варианте теоремы Гёделя.
А вот лучший вообще источник про теоремы о неполноте Гёделя, который я знаю - книга того же Смульяна "Goedel Incompleteness Theorems".
Эта книга со строгими и полными доказательствами всего, что нужно, но при этом в ней количество ненужных technicalities сведено до минимума, а конкретным теоремам о конкретных формальных системах предшествуют их "абстрактное" изложение в виде "абстрактных" теорем, позволяющих лучше прочувствовать идею теорем и общее строение доказательств.
Есть немало других хороших книг про теоремы Гёделя, но эту я особенно рекомендую всем желающим. Конечно, стоит учитывать, что это не книга головоломок и не популярное изложение. Требуется некоторое, пусть минимальное, знакомство с математической логикой, и некоторое количество того загадочного материала, который по-английски называется mathematical maturity -- способность следовать за математическими рассуждениями, не путаясь в мелочах и не теряя нити повествования.
Ронни
Date: 2003-05-27 06:23 am (UTC)no subject
Date: 2003-05-27 08:43 am (UTC)А то в mathworld-е про это ничего нет, а гуглем находятся только навернутые статьи, нам, чайникам, непонятные.
Re:
Date: 2003-05-27 08:52 am (UTC)Re:
Date: 2003-05-27 09:08 am (UTC)Если это можно объяснить, скажем, на уровне Bachelor of Math (3-4 курс мехмата, если по-русски), то было бы замечательно.
no subject
Date: 2003-05-27 09:44 am (UTC)Пусть у нас есть группа G с конечным генерирующим множеством S. Любой член G может быть записан как произведение членов типа s или s^-1, где s в S. К таким произведениям мы можем относиться как к формальным словам, построенным на алфавите S. Тогда для любого члена группы g можно определить его длину как длину наименьшего слова из S, произведение которого равно g.
Вообще говоря, разные слова могут давать одинаковые произведения: если a,b,c,d разные генераторы, может оказаться, скажем, что ab=cd, или что а*а*а*а*а=1 итп. В свободной группе такого случиться не может, в ней по определению два разных слова имеют одинаковое произведение, т.е. определяют один и тот же член группы, только если из одного можно перейти в другое тривиальным внесением/удалением пар типа a*a^-1.
Теперь для любого числа n зададим вопрос: сколько есть разных членов группы G длиной не больше n? Назовём это число f(n).
Если G - свободная группа, то "разные члены" - почти то же самое, что "разные слова", и поэтому легко видеть, что f(n) примерно равна (2d)^n, где d - количество генераторов в S. Т.е. экспоненциальная функция. Это верхний предел, больше быть не может.
С другой стороны, если G коммутативна, то количество разных членов длиной <=n зависит только от степени каждого генератора в произведении, а не от взаимных расположений, и легко видеть, что f(n) тогда полиномиальная от n.
Можно легко увидеть, что замена множества генераторов на другое меняет функцию роста с точностью до многочлена, не более того. Так что рост группы (с точностью до многочлена) хорошо определён и зависит только от самой конечно генерируемой группы.
Так что у нас есть две крайности: есть полиномиальные группы (группы с полиномиальными функциями роста) и экспоненциальные. Долгое время оставался открытым вопрос о том, есть ли что-то посредине; его решил Григорчук в 80-х, построив группу с промежуточной функцией роста.
В общем, целое направление в теории групп изучает функции роста, свойства разных групп с разными функциями роста итп.
Можно легко показать, что если у G есть подгруппа конечного индекса H, такая, что H полиномиальна, тогда и G полиномиальна (и вообще функции роста G и H эквивалентны с точностью до полинома). Легко также показать, что любая нильпотентная группа полиномиальна. Отсюда следует, что любая почти-нильпотентная (т.е. имеющая нильпотентную подгруппу с конечным индексом) группа полиномиальна.
Громов доказал обратное направление, очень нетривиальное и красивое. Его доказательство использует геометрические методы, превращая группу в метрическое пространство ("расстояние" между членами a и b связано с наименьшей длиной члена a*b^-1), и использует по дороге Римановы многообразия, группы Ли и решение 5-й проблемы Гильберта. Можно, наверное,сказать, что результат Громова по сути дела заложил основу того, что называется сегодня "геометрическая теория групп" -- я, правда, довольно мало об этом знаю.
Re:
Date: 2003-05-27 11:22 am (UTC)Вооруженный этой новой информацией, я нашел следующие ресурсы:
http://www.math.cornell.edu/~bux/pg_e03.html
http://www.ma.ic.ac.uk/~mbrids/
Возможно, они Вам пригодятся
no subject
Date: 2003-05-27 11:29 am (UTC)Извините за занудство.
no subject
Date: 2003-05-27 11:34 am (UTC)no subject
Date: 2003-05-28 09:38 pm (UTC)случайно подвернулся сегодня линк на книгу В.А.Успенского "Труды по нематематике", где в том числе есть что-то о теореме Гёделя (ещё не смотрел)
no subject
Date: 2003-05-30 08:45 am (UTC)> Громова по сути дела заложил основу того,
> что называется сегодня "геометрическая
> теория групп"
Основа была пожалуй заложена Cayley и Dehn'ом которые начали рисовать Cayley graphs.
Re:
Date: 2003-05-30 10:51 am (UTC)говорящие имена
Date: 2003-06-02 08:48 am (UTC)no subject
Date: 2003-06-04 09:59 am (UTC)http://vesver.narod.ru/16/rindex.htm
Re:
Date: 2003-06-04 12:19 pm (UTC)no subject
Tits, Jacques
Groupes à croissance polynomiale (d'après M. Gromov et al.). (French) [Groups with polynomial growth (after M. Gromov et al.)]
Bourbaki Seminar, Vol. 1980/81, pp. 176--188,
Lecture Notes in Math., 901,
Springer, Berlin-New York, 1981.
There is a Russian translation, but I doubt you can find it in Jm. If you wish, I can send it to you when I am back to Bx.