задачки

[avva]

Три задачки с простыми условиями. Первая совсем простая, вторая сложнее, третья ещё сложнее (так мне кажется, по крайней мере).

1. На светофоре у перекрёстка горит 30 секунд зелёный свет, потом 30 сек. красный, потом опять 30 сек. зелёный и так далее. Сколько времени в среднем теряет водитель у перекрёстка?

2. Придумать эксперимент с "честной" монеткой (т.е. вероятности выпадения орла и решки равны 1/2), такой, что вероятность успеха эксперимента равна 1/3.

3. Дана некая ограниченная в своих размерах область на плоскости (т.е. некоторая часть плоскости, полностью влезающая в квадрат какого-то, возможно очень большого, размера). Доказать, что существует точка, так что никакая прямая сквозь эту точку не отсекает ровно 1/3 данной области.

Comments

[p-k.livejournal.com]

#3:
Покажем, что существуют три прямые, пересекающиеся в одной точке, такие, что в каждом получившемся секторе лежит ровно одна шестая площади.

а) Для любого направления существует прямая, ему параллельная, делящая площадь пополам (ну, понятно...)

б) Пусть такая прямая проведена. Существует прямая, которая вместе с первой делит площадь на части 1/6, 1/3, 1/6 и 1/3 (в таком порядке, при обходе вокруг точки пересечения). Для доказательства сначала возьмем точку вне ограничивающего квадрата, и проведем через нее прямую, делящую одну половину фигуры на 1/6 и 1/3. Вторая половина при этом разделится на 1/2 и 0. Выбрав точку с другой стороны, получим разбиение второй половины на 0 и 1/2. По непрерывности, существует точка, для которой вторая половина разобьется на 1/6 и 1/3.

в) Точно так же, можно провести еще и третью прямую, разбивающую вместе с первой плоскость на части 1/3, 1/6, 1/3 и 1/6. Если бы все три прямые пересеклись в одной точке, то утверждение было бы доказано, но в общем случае прямые высекают треугольник. Давайте будем вращать первую прямую, и вместе с ней все построение. Положение прямых (в естественной топологии) непрерывно зависит от угла (доказательство прямое, но нудное). После поворота направления на 180 градусов, треугольник вывернется наизнанку. Значит, был такой момент, когда он был вырожден - утверждение доказано.

Дальше просто - любая прямая, проходящая через эту точку, оставляет по каждую сторону два целых сектора, в каждом из которых лежит 1/6 площади.

Интересен вопрос о точной верхней грани в этой задаче (очевидно, 1/3 не точно). Сдается мне, что это будет e^-1...

[p-k.livejournal.com]

Не, верхняя грань как раз 1/3 и будет. Более того, грань достигается - возьмем несвязную область, состоящую из трех одинаковых маленьких кругов с центрами в вершинах большого равностороннего треугольника.

Красивая задача.

[avva.livejournal.com]

Да, вот здесь всё правильно.

[p-k.livejournal.com]

На самом деле, есть небольшая нечистота - непрерывности-то нет, вообще говоря... Лечится легко, надо в дополнении квадрата к области добавить маленькую плотность, и ее учитывать - тогда непрерывность будет. Будем эту плотность уменьшать, последовательность получившихся точек имеет предельную точку из-за ограниченности, она и будет решением.

Если уж буквоедствовать - в условии тоже ошибка. Должно быть - "не отсекает меньше 1/3 данной области", иначе контрпример с тремя кругами действует.