правда математики (англ.)

[avva]

Почему математика верна?

It has been said that mathematics is true because it is God-given. Mathematics is true because man has constructed it. Mathematics is true because it is nothing but logic, and what is logical must be true. Mathematics is true because it is tautological. Is is true because it is proved. It is true because it is constructed; its fabric is knit from its axioms as a sweater is knit from a length of yarn. It is true in the way that the rules and subsequent moves of a game are true. It is true because it is beautiful, because it is coherent. Mathematics is true because it is useful. Mathematics is true because it has been elicited in such a way that it reflects accurately the phenomena of the real world.

Mathematics is true by agreement. It is true because we want it to be true, and whenever an offending instance is found, the mathematical community rises up, extirpates that instance and rearranges its thinking. Mathematics is true because, like all knowledge, it is based upon tacit understanding. Mathematics is true because there are numerous independent but supportive avenues to its kind of knowledge which are constantly being reconciled.

It has also been said that mathematics isn't true at all in a rock-bottom sense, it is true only in a probabilistic sense. Mathematics is true only in the sense that it is refutable and corrigible; its truths are eternally provisional. Mathematical truth is not a condition, it is a process. Truth is an idle notion, to mathematics as to all else. Walk away from it with Pilate.

Rattling off this list in a rat-a-tat-tat fashion has very likely induced some vertigo in the minds of readers and a feeling that chaos muse prevail in this most fundamental question of this most fundamental field. But the chaos is something that only philosophers of mathematics contend with. The majority of mathematicians hardly worry about it at all and often regard philosophical speculation with disdain or amusement...

— из статьи: Philip J. Davis, When Mathematics Says No, Mathematics Magazine 59/1986, p.70.

Сама статья, впрочем, довольно слабая и малоинтересная, просто это перечисление понравилось.

P.S. Не хватает варианта "Математика верна, потому что всесильна" ;)

Comments

[posic.livejournal.com]

Весьма неубедителен был первый коммент Арбата; нынешний же, напротив того, вполне убедителен.

Слово "аксиома" в современном математическом языке употребляется в двух разных смыслах. Бывает аксиоматики оснований (теории множеств, в типичном случае), и бывают аксиомы из предметных математических областей (аксиомы группы, кольца, триангулированной категории, многообразия с краем, схемы Гротендика, далее везде). Аксиомы во втором смысле с точки зрения формальных оснований суть просто особенно важные определения. Так, аксиомы геометрии Евклида (или Лобачевского) в современном подходе мыслятся как определения понятий "плоскость/пространство Евклида" (или Лобачевского).

За утверждением Арнольда, как и за большей частью остальных его высказываний на около-научные темы в последние годы, стоит главным образом его безудержная, безответственная полемическая агрессивность, и мало что сверх того.

[sowa.livejournal.com]

Именно это я имел ввиду - аксиомы групп или триангулированных категорий являются на самом деле определениями. Их статус совершенно отличен от статуса аксиом теории множеств, арифметики, или геометрии до полной арифметизации последней (что произшло в конце 19-го века).

У Арнольда в полной мере присутствует полемическая агрессивность, но мне кажется более интересным искать смысл его высказываний, нежели отметать их на этом основании.

(В качестве параллели: у Пуанкаре полно работ неверных или бессмысленных, при строгом подходе. Например, он нигде не писал, что в определении фундаментальной группы нужно фиксировать отмеченную точку. Однако отношение к ним было конструктивным: Пуанкаре надо понимать, а не опровергать.)

[posic.livejournal.com]

Две очень разные вещи: статус математических высказываний в мире современного математического знания и их же статус в рамках дедуктивной системы, основанной на аксиомах ZFC.

Все-таки все по-настоящему интересные вопросы о природе математики должны отвечаться одинаково до изобретения аксиом теории множеств и после. "Почему верна математика", является ли математика частью физики (или наоборот логики) и т.п. -- ведь ответы на эти вопросы никак не изменились оттого, что Кантор придумал теорию множеств, а Цермело ее аксиоматизировал.

В этом смысле единственная подлинная разница между группами аксиоматик, которые Вы перечисляете, состоит в том, что групп и триангулированных категорий -- по замыслу, по целям изобретения соотв. аксиом -- должно быть много, совсем разных. А натуральные числа, геометрия Евклида и теоретико-множественная вселенная -- по замыслу, в идеале -- уникальны. Отсюда видно, что евклидова (равно как и лобачевская) геометрии должны по справедливости классифицироваться в одном ряду с натуральными числами и теоретико-множественной вселенной, а вовсе не с безымянной группой или категорией.

Что, конечно, не отменяет того несомненного факта, что подлинно центральным и первоначальным объектом математики является натуральный ряд :)

[sowa.livejournal.com]

"ответы на эти вопросы никак не изменились" - а что, ответы есть, и уже давно (поскольку они "не изменились" сто лет назад)?

Вопрос "почему верна математика" - хорошая затравка для разговора, но я не заметил, чтобы кто-нибудь тут на него ответил.

В главном я согласен со всеми вашими утверждениями. Я, правда, не вижу, как они опровергают мои, вероятно, потому, что я не приписываю им (моим утверждениям) истинностного значения.

С геометрией произошла интересная вещь - она изменила статус, в вашем смысле. Из теории единственной сущности она превратилась в теорию с многочисленными моделями, где допускаются разнообразные варианты аксиом (т.е. определений). В сущности, и евклидова, и геометрия Лобачевского всего лишь особо симметричные примеры римановых многообразий.

За всей этой дискуссией о природе аксиом пропала главная идея моего первого коммента в этом треде. Так что я ее повторю.

Я не понимаю, почему нужно опровергать утверждения типа "математика - это часть физики", которые настолько очевидно неверны, что стоит подумать о том, как их понять правильно.

почему верна математика

[correlation.livejournal.com]

"Все объекты, доступные человеческому разуму или исследованию, по природе своей могут быть разделены на два вида, а именно: на отношения между идеями и факты. К первому виду относятся такие науки, как геометрия, алгебра и арифметика, и вообще всякое суждение, достоверность которого или интуитивна, или демонстративна. Суждение, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов двух других сторон, выражает отношение между указанными фигурами; в суждении трижды пять равно половине тридцати выражается отношение между данными числами. К такого рода суждениям можно прийти благодаря одной только мыслительной деятельности, независимо от того, что существует где бы то ни было во вселенной. Пусть в природе никогда бы не существовало ни одного круга или треугольника, и все-таки истины, доказанные Евклидом, навсегда сохранили бы свою достоверность и очевидность."

Д.Юм.
Исследование о человеческом разумении

[posic.livejournal.com]

Ответ на вопрос, верна ли гипотеза Римана, за последние 500 лет не изменился.

Евклидова и лобачевская геометрии остались и останутся уникальными объектами. Хотя, конечно, их можно вставить в разные серии, семейства и категории.

Про очевидно неверное утверждение -- его надо как-то иначе сформулировать тогда, чтобы оно ближе к верному.

[sowa.livejournal.com]

Я имел ввиду вопросы типа "почему верна математика". Я, на самом деле, почти не понимаю, что он значит. Для меня он, без дальнейших разъяснений, аналогичен вопросам типа "почему существует Вселенная". О них можно поговорить, но найти ответ вряд ли можно.

Исходно евклидова геометрия была уникальной, потому что она была единственным возможным описанием (некоторых аспектов) окружаюшего мира. Она остается уникальной, но на менее торжественных основаниях, аналогичных скорее уникальности Большого Монстра. Некий специальный объект, который можно построить из чисел.

"Про очевидно неверное утверждение -- его надо как-то иначе сформулировать тогда, чтобы оно ближе к верному." - однако никто этим не заинтересовался, а опровергали с энтузиазмом.

[posic.livejournal.com]

Как говорил мой школьный учитель математики, "очевидное -- это то, что легко доказать. Докажите, пожалуйста". Предметно и внятно объяснить, почему неверно очевидно неверное утверждение -- тоже вполне себе дело.

Я могу предложить еще одно опровержение, оно будет звучать так: "на самом деле все наоборот, физика является частью математики. Ведь физика без математики немыслима, а математика без физики мыслима."

Но на самом деле я вот что думаю. Физика занимается экспериментами и наблюдениями. Последние подразумевают наличие наблюдаемого мира и наблюдателя/экспериментатора. Прежде чем поставить эксперимент, надо его в голове придумать; а все, что можно наблюдать, можно также и вообразить. Математика занимается той частью всего этого дела, которая происходит в сознании наблюдателя, т.е. мысленными экспериментами и воображаемыми результатами наблюдений.

Последний абзац не претендует на прояснение природы математики и ее истинности. Он претендует на объяснение так называемой "необъяснимой эффективности математики в естественных науках".

[sowa.livejournal.com]

Да, вот это интересный аргумент. И про "эффективность математики" интересно. А насколько вы можете эти соображения конкретизировать? Ну, хотя бы в едва ли не самом знаменитом примере: соответствии атомных спектров спектрам операторов в гильбертовом пространстве?

[dyak.livejournal.com]

Прежде чем поставить эксперимент, надо его в голове придумать; а все, что можно наблюдать, можно также и вообразить. Математика занимается той частью всего этого дела, которая происходит в сознании наблюдателя, т.е. мысленными экспериментами и воображаемыми результатами наблюдений.

Именно тут математика делает очень "физическую" вещь: предполагает, что результат экперимента должен "однозначен" (типа лампочка зажжется в 10% попыток) вне зависимости от математического пути к нему. Это сильно бьет по идее arbat о "равноценности теорий".