правда математики (англ.)

[avva]

Почему математика верна?

It has been said that mathematics is true because it is God-given. Mathematics is true because man has constructed it. Mathematics is true because it is nothing but logic, and what is logical must be true. Mathematics is true because it is tautological. Is is true because it is proved. It is true because it is constructed; its fabric is knit from its axioms as a sweater is knit from a length of yarn. It is true in the way that the rules and subsequent moves of a game are true. It is true because it is beautiful, because it is coherent. Mathematics is true because it is useful. Mathematics is true because it has been elicited in such a way that it reflects accurately the phenomena of the real world.

Mathematics is true by agreement. It is true because we want it to be true, and whenever an offending instance is found, the mathematical community rises up, extirpates that instance and rearranges its thinking. Mathematics is true because, like all knowledge, it is based upon tacit understanding. Mathematics is true because there are numerous independent but supportive avenues to its kind of knowledge which are constantly being reconciled.

It has also been said that mathematics isn't true at all in a rock-bottom sense, it is true only in a probabilistic sense. Mathematics is true only in the sense that it is refutable and corrigible; its truths are eternally provisional. Mathematical truth is not a condition, it is a process. Truth is an idle notion, to mathematics as to all else. Walk away from it with Pilate.

Rattling off this list in a rat-a-tat-tat fashion has very likely induced some vertigo in the minds of readers and a feeling that chaos muse prevail in this most fundamental question of this most fundamental field. But the chaos is something that only philosophers of mathematics contend with. The majority of mathematicians hardly worry about it at all and often regard philosophical speculation with disdain or amusement...

— из статьи: Philip J. Davis, When Mathematics Says No, Mathematics Magazine 59/1986, p.70.

Сама статья, впрочем, довольно слабая и малоинтересная, просто это перечисление понравилось.

P.S. Не хватает варианта "Математика верна, потому что всесильна" ;)

Comments

[dyak.livejournal.com]

Это значит приблизительно вот что: задав некий вопрос о физическом мире, мы "знаем" что должен существовать набор постулатов, который дает ответ на этот вопрос и при этом внутренне непротиворечив.

[avva.livejournal.com]

Всё равно непонятно, увы. Что имеется в виду под непротиворечивыми постулатами?
Может быть, стоит продемонстрировать это на каком-нибудь примере.

[dyak.livejournal.com]

Представим себе в уме аппарат с кнопочкой и лампочкой и набор "законов природы" которые, как мы считаем, должны описывать этот аппарат. Но оказывается, что если одним образом из этих "законов природы" считать, то получится, что в 10% нажатий кнопочки за этим зажжется лампочка, а другим образом если считать, то получится в 20%. Но мы "знаем", что есть некий другой или модифицированный набор "законов природы" покрывающих этот аппарат, при котором этот ответ (10% или 20%) однозначен, равно как и однозначны ответы на все другие похожие вопросы. Откуда мы это знаем? Потому что мы можем построить такой аппарат и посмотреть. Мы можем не знать как чинить, но мы знаем, что чинимо.

С другой стороны, если, как по словам arbat "теория построенная на одном наборе аксиом ничуть не точнее, не лучше и не хуже, чем теория, построенная на другом наборе" то "теории", при которых, одним образом считая, ответ –– 10, а, другим образом считая, ответ –– 20, были бы "ничуть не точнее, не лучше и не хуже". Все равно как при виде игры в шахматы возмущаться абурдной ситуации, что слон съел коня. Игра ума.

У нас есть одна система, при которой гарантированно, что 10 равно 20 не будет. Это реальный мир.

А по поводу натурального ряда. Я не вижу как можно сформулировать "лампочка зажжется в 10% попыток" не используя натурального ряда (ну или эквивалента его).