правда математики (англ.)

[avva]

Почему математика верна?

It has been said that mathematics is true because it is God-given. Mathematics is true because man has constructed it. Mathematics is true because it is nothing but logic, and what is logical must be true. Mathematics is true because it is tautological. Is is true because it is proved. It is true because it is constructed; its fabric is knit from its axioms as a sweater is knit from a length of yarn. It is true in the way that the rules and subsequent moves of a game are true. It is true because it is beautiful, because it is coherent. Mathematics is true because it is useful. Mathematics is true because it has been elicited in such a way that it reflects accurately the phenomena of the real world.

Mathematics is true by agreement. It is true because we want it to be true, and whenever an offending instance is found, the mathematical community rises up, extirpates that instance and rearranges its thinking. Mathematics is true because, like all knowledge, it is based upon tacit understanding. Mathematics is true because there are numerous independent but supportive avenues to its kind of knowledge which are constantly being reconciled.

It has also been said that mathematics isn't true at all in a rock-bottom sense, it is true only in a probabilistic sense. Mathematics is true only in the sense that it is refutable and corrigible; its truths are eternally provisional. Mathematical truth is not a condition, it is a process. Truth is an idle notion, to mathematics as to all else. Walk away from it with Pilate.

Rattling off this list in a rat-a-tat-tat fashion has very likely induced some vertigo in the minds of readers and a feeling that chaos muse prevail in this most fundamental question of this most fundamental field. But the chaos is something that only philosophers of mathematics contend with. The majority of mathematicians hardly worry about it at all and often regard philosophical speculation with disdain or amusement...

— из статьи: Philip J. Davis, When Mathematics Says No, Mathematics Magazine 59/1986, p.70.

Сама статья, впрочем, довольно слабая и малоинтересная, просто это перечисление понравилось.

P.S. Не хватает варианта "Математика верна, потому что всесильна" ;)

Comments

[sowa.livejournal.com]

Лёня, ну не надо же так серьезно. Посмотрите, я написал:

"Аксиом в математике около дюжины (и еще сколько-то необщепринятых и не используемых в обычной деятельности). А вот теорем в год публикуется не меньше 100000. Так что математики на самом деле первые полдня просто спят." в ответ на "математики первые полдня выдумывают аксиомы, а вторую полдня выводят из них теоремы, а потом опять аксиомы, а потом опять из них теоремы, и так всю дорогу до пенсии."

Если вам это шутка кажется плохой, я приношу извинения. Я не собирался излагать здесь ни курс философии математики, ни основания теории множеств.

С Новым Годом!

P.S. Мне кажется, вы все же не совсем правы насчет роли оснований (Э. Хрушовски, сферически полные p-адические поля, П. Эклоф и т.п.), но это уже другая тема.

[posic.livejournal.com]

С Новым Годом!

Я сегодня не воспринимаю шуток, я не выспался. Поспать первые полдня не удалось. Извините.

А результатов, которые Вы называете, я не читал, но скажу. Что я писал не про роль оснований в широком смысле слова, а про ZFC конкретно. Ее роль очень специфическая. Все на нее кивают, но никто ее не знает; все ею пользуются, но никто этому не рад; все думают, что без нее не прожить, а на самом деле им и арифметика Пеано в полной силе не нужна.

А расскажите -- что за история про сферически полные поля и где можно об этом прочитать?

[sowa.livejournal.com]

Арифметикой Пеано трудно обойтись. Небольшое усиление теоремы Рамсея от нее уже не зависит.

А сферически полные поля - эта такая штука, которая бывает нужна в теории жестких аналитических пространств (кривые Мамфорда и т.д.). Пополнение алгебраического замыкания поля p-адических чисел полно и алгебраически замкнуто, но обладает таким неприятным свойством: существуют последовательности вложенных шаров с пустым пересечением (радиус не стремится к нулю). Если такое пересечение всегда не пусто, поле называется сфреически, или максимально, полным. Это свойство нужно для справедливости аналога теоремы Хана-Банаха, которая, в свою очередь, нужна для приложений к алгебраической геометрии. Известное мне доказательство существования таких полей опирается на теорию ультрафильтров, которая редко встречается за пределами собственно теории множеств. Прочитать можно в Alain Robert, A Course in p-adic Analysis.

Непрофессиональная аудитория полностью проигнорирована...

[posic.livejournal.com]

Ну, ультрафильтры все-таки довольно широко известны и в разных науках используются. Вот трансфинитная индукция еще. Но ни одного математика, который ради таких вещей научился бы отличать Foundation от Replacement, мне покамест встречать не доводилось. А усиленный Рамсей и многоголовая гидра никому не нужны, это просто красивые курьезы. Eсли гоняться за такими курьезами, так и никакой ZFC не хватит, как убедительно объясняет нам Harvey Friedman.

Насколько мне удалось разузнать, в современной математике есть одна (1) важная теорема, использующая грубо-приблизительно что-то подобное полной логической силе ZFC. Это борелевская детерминированность.

А вот что за приложения p-адического Хана-Банаха к алгебраической геометрии?

[sowa.livejournal.com]

"А вот что за приложения p-адического Хана-Банаха к алгебраической геометрии?" - а вот это я и пытаюсь узнать. Не готов пока. См. Jean Fresnel, Marius van der Put, Rigid Analytic Geometry and its Applications.

А дискуссия наша приобрела странный характер. Вы утверждаете, что "работающие математики" не знают теории множеств и ей не пользуются. С этим трудно спорить, хотя исключения есть. Вы, очевидно, работающий математик, работающий отнюдь не в теории множеств. Однако вы про все эти штуки много знаете (детерминированность борелевских игр - это все-таки не вводный курс анализа)! Нет ли тут противоречия?