категории (математическое)

[avva]

По мотивам нескольких жарких дебатов в ЖЖ третий день размышляю праздно о том, есть ли реальная возможность объяснить, что такое теория категорий и чем она занимается, далеким от математики людям. Уже несколько раз решал, что все-таки может быть можно, а потом передумывал и приходил к выводу, что никак.

Мне кажется, что основная проблема тут в том, что представление широкой публики о математике не включает в себя ни в каком виде понятие аксиоматической структуры. Самое близкое к этому, что есть - это идея неевклидовой геометрии, но она недостаточно развита (в популярном представлении), чтобы можно было взять и сразу так говорить о пространстве как объекте. То есть перед тем как говорить что-то о категориях, совершенно необходимо что-то говорить о полях или о группах, например. Постараться - в этом смысле - перенести слушателя в ранний 20-й век из раннего 19-го. Но уже на этой стадии слишком легко этого слушателя попросту потерять, мне кажется.

Есть ли удачные попытки объяснить категории неспециалистам? Насколько это возможно?

Comments

[roma.livejournal.com]

при чем здесь аксиоматические структуры? Аксиоматика -- скорее технический способ оформлять идею, надо бы говорить о содержательной стороне идеи. Или речь о том что такое абстрактная математика вообще?

[avva.livejournal.com]

Я говорю не об аксиоматическом методе формализации математике. "Аксиомы" не в смысле "аксиомы теории множеств", а в смысле "аксиомы группы/векторного пространства/топологического пространства" итд.

[rezoner.livejournal.com]

Прошу прощения за невежественный вопрос - а в чем принципиальное различие между аксиомами теории множеств и аксиомами групп?

[avva.livejournal.com]

Принципиальное различие заключается в том, для чего они используются. Аксиомы теории множеств нужны в основном для того, чтобы строго показать, как в рамках теории множеств можно формализовать всю остальную математику. Если мы хотим сказать, что с формальной точки зрения все обычные математические объекты - натуральные числа, вещественные числа, те же группы, векторные пространства, точки, линии, функции, производные, поля и что угодно еще все являются множествами, то аксиомы теории множеств нам нужны, чтобы доказать существование всех необходимых нам для этого множеств и нужные их свойства.

Аксиомы группы, с другой стороны, нужны для того, чтобы _определить_ абстрактное понятия "группа". Те математические объекты, которые выполняют аксиомы группы, являются группами, а другие не являются, и в этом нет ничего страшного :) сравните с ситуацией с множествами, где цель состоит в том, чтобы все подручные объекты представить в виде множеств, и все они выполнют аксиомы теории множеств.

Еще можно так сказать: "аксиомы группы" можно без всякого ущерба для смысла назвать "определением группы". А вот "аксиомы теории множеств" не назовешь "определением множеств", потому что такое определение в общем-то не нужно. Математики понимают, что такое множество, без всяких аксиом; а что такое группа, не понимают, точнее, их понимание собственно и выражается более или менее этими аксиомами группы.

[rezoner.livejournal.com]

Спасибо. То есть, с точки зрения их сущности разницы нет; разница только в том, что первый объект более или менее уже известен,а второй мы как бы изобретаем. На самом же деле группы не менее реальны, чем множества, просто их труднее увидеть, или просто руки не доходили до поры до времени. Мне кажется эта разница временной и непринципиальной: когда-то и понятие множества было новинкой.

Ну, неважно. Как показывает мой личный ученический опыт, дети в седьмом-восьмом классе легко воспринимают аксиоматику теории групп. Возможно, и пресловутый неспециалист воспримет, было бы у него желание?

разница в том,

[a-shen.livejournal.com]

что аксиомы теории множеств составлялись людьми, которые изначали имели в виду одну модель (как и аксиомы натуральных чисел), а аксиомы группы с самого начала подразумевали множество моделей (это и говорит хозяин журнала, но немного другими словами)

Re: разница в том,

[xaxam.livejournal.com]

Ну да, как аксиомы Евклида. Собственно, словом "аксиома" математики пользуются довольно неохотно, отдавая его на откуп философам. Предпочитают слово "определение".

Контрпримером является "аксиоматическая теория гомологий" Стинрода-Эйленберга. Помню, я ещё студентом и зная, в общем-то, только симплициальные гомологии и только когомологии де Рама, спотыкался о психологический барьер: какие ж это на хрен аксиомы! Их и не понять вовсе, а уж постулировать факты, которые только что с трудом доказаны, - просто свинство...

[os80.livejournal.com]

Скажите, а когда Арнольд говорил, что никаких других групп, кроме групп преобразований, нет и что "аксиомы группы" - это потому что "алгебраистам же самое интересное надо выкинуть" - врал?

[posic.livejournal.com]

Это вопрос не правды или вранья, а взгляда и вкуса. Разные математики по-разному смотрят на свой предмет. Арнольду нравится так, алгебраистам иначе. Мне точка зрения Арнольда сильно не по душе, да (я алгебраист).

Математическая-в-узком-смысле сторона вопроса сводится к тому, что всякую группу можно представить как группу преобразований, но многими разными способами. Поэтому я предпочитаю считать, что группа -- это одно, категория ее представлений преобразованиями чего-то там -- это другое, а никакого выделенного представления, с которым имело бы смысл отождествлять группу, нет.

[avva.livejournal.com]

Я, кстати, именно думая о позиции "группы суть группы преобразований", вставил слова "более или менее" в последнем предложении своего комментария. Но вообще-то об этом высказывании Арнольда я думаю, что оно по сути не сильно отличается от многих других "провокативных" высказываний Арнольда последних лет, напр. о математическом образовании. А именно: если воспринимать его, заранее уважая Арнольда и симпатизируя его взглядам на строение математики, то в этом, вообще говоря, чрезвычайно раздутом, помпезном и нелепом высказывании, можно усмотреть то зерно интересного смысла, которое в него изначально было вложено. Только в таком духе имеет смысл его воспринимать, а буквально и всерьез к нему относиться глупо. То же я мог бы сказать о множестве других фраз Арнольда, к-е читал в разных интервью и популярных статьях за последние годы.

(P.S. Конечно, я первый предложу вам при оценке этого моего мнение держать в уме, кто был Арнольд, а кто я)

[os80.livejournal.com]

Кто Арнольд, а кто Вы, сами понимаете, не так интересно. Интересен факт, что (по крайней мере) Арнольду аксиомы группы не нужны, потому что они выводятся (по Арнольду) из того факта, что группа есть всегда группа преобразований. И в этом смысле аксиомы группы опять непонятно, чем аксиомы группы отличаются от аксиом теории множеств (без которых, кстати, насколько я понимаю, какие-то парадоксы возникают).

[avva.livejournal.com]

Как вы от Арнольда вернулись к аксиомам теории множеств, от меня ускользнуло. Группы "по Арнольду" и группы "абстрактные" используют один и тот же вид "аксиом", просто "по Арнольду" их меньше, т.к. он бесплатно получает ассоциативность и единицу (зато замкнутость под композицией ему надо постулировать). И то и другое - вид определения.

Группы обычно возникают в реальной математической практике как группы трансформаций. Но тем не менее, надо также понимать, например, целые числа как группу или работать с мультипликативной группой поля. В обоих случаях эти группы можно представить как группы трансформаций, но я не вижу, почему это представление более естественно и проще, чем немедленно-алгебраическое; по-моему, оно менее естественно и сложнее.