категории (математическое)
Nov. 11th, 2010 06:08 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
avvaПо мотивам нескольких жарких дебатов в ЖЖ третий день размышляю праздно о том, есть ли реальная возможность объяснить, что такое теория категорий и чем она занимается, далеким от математики людям. Уже несколько раз решал, что все-таки может быть можно, а потом передумывал и приходил к выводу, что никак.
Мне кажется, что основная проблема тут в том, что представление широкой публики о математике не включает в себя ни в каком виде понятие аксиоматической структуры. Самое близкое к этому, что есть - это идея неевклидовой геометрии, но она недостаточно развита (в популярном представлении), чтобы можно было взять и сразу так говорить о пространстве как объекте. То есть перед тем как говорить что-то о категориях, совершенно необходимо что-то говорить о полях или о группах, например. Постараться - в этом смысле - перенести слушателя в ранний 20-й век из раннего 19-го. Но уже на этой стадии слишком легко этого слушателя попросту потерять, мне кажется.
Есть ли удачные попытки объяснить категории неспециалистам? Насколько это возможно?
Мне кажется, что основная проблема тут в том, что представление широкой публики о математике не включает в себя ни в каком виде понятие аксиоматической структуры. Самое близкое к этому, что есть - это идея неевклидовой геометрии, но она недостаточно развита (в популярном представлении), чтобы можно было взять и сразу так говорить о пространстве как объекте. То есть перед тем как говорить что-то о категориях, совершенно необходимо что-то говорить о полях или о группах, например. Постараться - в этом смысле - перенести слушателя в ранний 20-й век из раннего 19-го. Но уже на этой стадии слишком легко этого слушателя попросту потерять, мне кажется.
Есть ли удачные попытки объяснить категории неспециалистам? Насколько это возможно?
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2010-11-12 06:56 pm (UTC)If I were trying to sell physicists on category theory I'd show how it helps to solve interesting problems in physics, e.g. via K-theory. There are examples in "everyday physics", like the classification of Fermi surfaces. In chemistry (well, molecular biology) there are somewhat similar problems with classification of feedforward loops of genetic regulation. System biologists are rediscovering category theory without quite realizing what they are doing.
This is the typical situation. Scientists reinvent bicycles. Someone realized that it has already been invented, in a more general form. Then the theory is looked at more closely, and there is immediate payoff. Only then it becomes used. Seldom do you see mathematicians being able to interest non-mathematicians with their theories before the reinvention happens. The textbook case of Heisenberg not realizing that he reinvented matrix algebra is a good example. We are talking about MATRICES in 1925. No one explained matrices to physicists. Only when matrix mechanics were invented, Born and Jordan remembered they've seen something looking like it somewhere, where could it be?
It will be the same thing with category theory. Explaining the use of the matrices would be an impossible task in 1860. In 1960, this explaining required little more than mentioning a transistor radio. No amount of "popularization" of matrices between 1700 and 1925 would have any effect.
no subject
Date: 2010-11-12 11:56 pm (UTC)Explaining category theory through K-theory sounds like explaining complex numbers through Fourier analysis, or better through Kähler manifolds. For example: you know flying_bear and know his class as a theoretical physicist; he mentioned some time ago that he doesn't know almost anything about category theory. I think it's safe to assume that he doesn't know anything about algebraic varieties, coherent sheaves or homological algebra. And I didn't even get to K-theory yet.
By the way, I guess you are talking about this paper: http://arxiv.org/abs/hep-th/0503006. I'm wondering how valuable it really is for the "real physics" (as opposed to string theory)... And if it is all. But I'm afraid I don't know a single person whom I could ask this question.
no subject
Date: 2010-11-13 03:30 am (UTC)Quantum mechanics is a strange way to arrive at matrix algebra, but to a physicist this does not look contrived or forced. As for the complex numbers, harmonic analysis is simpler to grasp than a complex number. Many students are taught complex numbers as an aside to electric curcuits or waves/sounds/light. A friend of mine who teaches QM always spends the first lecture on a refresher about complex numbers; few student taught complex numbers retain this knowledge until they really use it. What seems strange to you, looks quite normal in physics and chemistry. A lot of mathematics is taught through its applications in theory rather than systematically. Students do have math classes, but what they learn there goes above their heads as they see no imeediate use of it. It comes back when they see where it fits.
Back to the classification of Fermi liquid Fermi surfaces. I do not care how many physicists find it important (many, in fact). We were talking about an illustration of the power of category theory that is relatively simple. Classification of D-branes might be more important but it is not simple at all and it is a special kind of physics. Horava's classification is different. Here the argument does not even require equations! Fermi liquids are important and mysterious. That the classification can be done in this elegant way is amazing. I am impressed. I am even more impressed by classifications of topological superconductors and insulators that also use K-theory. You do not need to explain the importance of such materials to people reading Nature and Science. Topological insulators have been all the rage over the last two years, it is mainstream physics. So the theory found everyday application, and it will be taught in physics classes because of the great significance of this new type of materials. It makes perfect sense to use this circumstance to explain why category theory is important. Just like the waves are used to teach the importance and usefulness of complex numbers. Maybe this is not the best way to teach new mathematics, but it is better than nothing.
no subject
Date: 2010-11-13 10:07 am (UTC)I remember FB using the index theorem. I think I remember his discussion with sowa, where he said that physicists know the proof via heat equation, and don't know the original one via K-theory. Anyway, I guess it would make more sense to ask him about these matters directly. I have my personal fear and admiration of K-theory because I could never get to understand it. Basic category theory in comparison is just peanuts.
no subject
Date: 2010-11-13 10:27 am (UTC)no subject
Date: 2010-11-13 12:32 pm (UTC)no subject
Date: 2010-11-13 11:04 pm (UTC)Мне казалось так (поправьте, если я начну говорить глупости). "Теория категорий" -- это на своем начальном уровне вообще никакая не теория, а скорее язык. Разобраться в основных определениях не слишком трудно, и дальше можно понимать содержательные математические тексты с использованием этого языка. А "сложная" теория категорий (высшие категории и т.д.) -- это уже некоторая очень специальная область, в которую лезть не обязательно.
А вот К-теория (обычная, не говоря уж о высших) мне всегда казалось чем-то эзотерическим. И чтобы хотя бы что-то в ней понять, нужно уметь обращаться с гомологической алгеброй, спектральными последовательностями, когомологиями пучков и прочими ужасно страшными штуками, каждая из которых гораздо сложнее, чем категории.
В конце концов, есть книжки вроде Basic category theory for computer scientists. Ничего аналогичного про спектральные последовательности или когомологии пучков я не знаю.
Не так?
no subject
Date: 2010-11-14 03:09 am (UTC)Для того, чтобы разобраться в основных определениях теории категорий, хорошо бы иметь в голове достаточный запас примеров, и чтобы эти примеры были уже усвоены и стали естественными раньше. Мне кажется, что проблема в этом. Если примеров нет, то это какая-то странная игра ума, непонятно зачем нужная. Математик может и абстрактную игру ума выучить из любопытства, но у физиков такому стремлению взяться неоткуда.
Для того, чтобы разобраться в основных определениях топологической К-теории (точнее, понять, что такое К(Х)), достаточно прочитать первые два параграфа "Лекций по К-теории" Атийи. Когдя я эту книжку читала, я даже ещё не была знакома с понятием векторного расслоения (только с основными примерами расслоений типа касательного и дифф.форм). Но там всё это объясняется практически с нуля.
"К-теория (обычная, не говоря уж о высших)"
Может, мы о разных К-теориях говорим? Проблема с высшими возникает в алгебраической К-теории. Это действительно физику не объяснить, видимо. А в топологической все К-группы определяются элементарно через K^0 и операцию надстройки. Не говоря уж о том, что они оказываются периодическими с периодом 2, так что достаточно определить только K^0 и K^1. K^1 легко определить и без надстройки -- как множество классов эквивалентности (с точностью до гомотопии) отображений X в бесконечную унитарную группу.
При чём тут гомологическая алгебра, спектральные последовательности и когомологии пучков -- я вообще не поняла. Пучки используются в определении К-теории в алгебраической геометрии. Но о ней говорить нет смысла, не познакомившись сначала с алгебраической геометрией.
no subject
Date: 2010-11-15 10:05 pm (UTC)no subject
Date: 2010-11-16 03:23 am (UTC)Алгебраические K_0 и K_1 тоже несложные (по крайней мере определения) -- если человек алгебраист, а топологии наоборот совсем не знает, то, может, ему их и легче понять будет. А вот дальше (начиная с K_3, насколько я понимаю, для K_2 тоже есть отдельное определение) уже сложнее, и там уже топология завязана.
Вообще-то я в этом совсем не специалист, так, немножко книжки почитала.
no subject
Date: 2010-11-14 06:21 am (UTC)no subject
Date: 2010-11-13 08:14 pm (UTC)I am surprised myself that simpler and more transparent applications did not show up. Like the fastforward loops that I mentioned. These are thought of in terms of networks, but these can also be thought of as caterogories. There is a problem of explaining the evolution & relatedness of such loops: how one such loop involves into the FFLs of different kinds. These are, basically, stripping functors between the categories. Dualities are realized as coherent and incoherent loops, etc. The people working in this field are system and molecular bilogists. They do not think about their problem in terms of category theory, while it is very natural. Each network maps on a system of differential equations, some of which produce chaos (they call it "noise"). So you can ask what categories produce noise and how it changes with evolution. I just read such a paper in PNAS. Thed field is crying out loud for a good mathematician to look at it. But mathematicians do not know anything about FFLs, not that it is some great arcana. Here you have one of the greatest mysteries in biology: how organisms through dice deciding their behavior. I mean, this is not trifling matter.
Seriously, take a look
http://www.pnas.org/content/107/30/13300.abstract
no subject
Date: 2012-07-25 06:36 pm (UTC)I'm currently studying computational and systems biology and am quite interested in possible applications of category theory. Would you happen to be aware of any other works in this direction?
no subject
Date: 2012-07-25 07:11 pm (UTC)I know some other people doing this, but it is limited to statistical analyses of graphs. I do not think I've seen category theory being used, but it is not my field. Serge would be the person I'd consult myself had I tried anything along the lines.
no subject
Date: 2010-11-13 10:14 am (UTC)В двух словах - я не знаю теорию категорий и имею очень смутное представление о К-теории, но я хотел бы это знать. Думаю, то, что я ничего этого не знаю, очень сильно ограничивает мои возможности как физика.
Статью Хорава нашел интересной, но непонятной. Однако, написанную куда менее формально работу http://arxiv.org/abs/cond-mat/0611347 знаю очень хорошо, и она на самом деле важна для графена. "Топологическая" часть доказательства там существенна. Например, из нее следует, что многочастичная теория без нарушенной симметрии относительно инверсии и обращения времени тоже должна давать бесщелевой спектр в дираковской точке.
Теорема об индексе применительно к графену - это очень простой случай, там даже можно явно построить все нулевые моды. В книжке про графен, которую я сейчас пишу, я так это все дело и представляю, по-другому просто не смогу. Но предпочел бы представлять, ссылаясь на общую теорему. В техническом смысле я не понимаю "третье" доказательство Атийя-Зингера (пытался читать, впрочем, и на уровне собаки, которая понимает, но объяснить не может, что-то забрезжило), но понимаю, что оно гораздо более по делу, чем основанное на расчете индекса через ядро уравнения теплопроводности (хотя последнее ближе физикам, и именно его в физических книжках и рассказывают).
То есть: я не знаю К-теории, но очень хотел бы знать. Вероятно, нужны хорошие изложения для физиков конденсированного состояния. Скажем, в случае алгебраической топологии был, в конце 1970х, замечательный обзор Мермина по топологической классификации дефектов. Его я выучил в свое время досконально (а потом уже смог читать какие-то относительно несложные математические книжки, из которых, в сою очередь, узнал и про теорему об индексе). Но я тогда был значительно моложе.
Я не занимаюсь трехмерными топологическими изоляторами именно потому, что чувствую недостаточную математическую подготовку. И воспринимаю это как проблему. Для двумерных топологических изоляторов, квантового спин-Холл эффекта и т.п. достаточно физической интуиции, почерпнутой из графена. Для трехмерных уже нет. И это, несомненно, мейнстримная физика, я согласен с Вашей оценкой.
no subject
Date: 2010-11-13 08:47 pm (UTC)