задачка о мотоциклистах

[avva]

Симпатичная задачка у arish. Несложная, просто симпатичная. Правильный ответ есть там в комментах, так что кто хочет сам сперва решить - не заглядывайте.

Comments

[elcour.livejournal.com]

Я вот тоже вспомнил детскую, но уж очень милую задачку. Требуется назвать все числа, отвечающие следующему условию: само число должно быть равно утроеной сумме своих знаков.

[ge-m.livejournal.com]

У меня почему-то только 27 получается. Есть ещё?

Re:

[avva.livejournal.com]

Думаю, что больше не может быть. Трёхзначное число всегда больше, чем сумма трёх цифр умножить на три. Однозначным не может быть. Двузначное число должно делиться на три и не может быть больше (9+9)*3 = 54. Оставшиеся можно вручную за полминуты перебрать ;)

Re:

[ge-m.livejournal.com]

Я тоже думаю, что нет.
Я написал:
3*(L+M) = 10*L + M
7L = 2M

где L и M - целые,
и перебрал все возможности. Единственная: L=2, M=7

[ge-m.livejournal.com]

Забыл,
L & M - целые и меньше 10, разумеется.

Конечно.

[elcour.livejournal.com]

Кроме того, надо ещё доказать, что найдены все решения. Это - часть задачи.

Re: Конечно.

[ge-m.livejournal.com]

Я написал решение в комменте к avva.
7L = 2M, где L,M-целые и не более 9.
Так как максимальное М=9, то максимальное L=2, так как при L=3, М>9
Но так как L и M разной чётности, а именно L - должно быть чётным, то годится только L=2, M=7.

Сэр,

[elcour.livejournal.com]

предлагаю Вам пари, что Ваш ответ - 27 - не единственный.
Проигравший запишет решение в стихотворной форме.
Задачку я придумал сам лет пять назад вместе с моим отцом, соблазнившись прелестью решения - оно придумалось сначала.
Толя, предложение пари к тебе тоже относится.

Re: Сэр,

[oblomov-jerusal.livejournal.com]

Второе решение 0

Re: Сэр,

[ge-m.livejournal.com]

Да с нулём вместе, пожалуй, уж точно всё.
Нулём я незаслуженно пренебрёг.

Re: Сэр,

[elcour.livejournal.com]

Это уже лучше. Берётесь доказать, что всё?

Re: Сэр,

[ge-m.livejournal.com]

Среди целых неотрицательных чисел - это всё (надеюсь). Почему "неотрицательных" - см. ниже мой ответ avva. Доказать лучше, чем я написал ранее (или взять рассуждения Аввы), я не умею.

Re: Сэр,

[avva.livejournal.com]

Очевидно, -27 ещё ;)

Re: Сэр,

[ge-m.livejournal.com]

Э, нет, об этом я думал, будучи припёрт к стене яростным Элькуром. Всё-таки, цифры или, как пишет elcour, "знаки" отрицательными не бывают. Поэтому я бы ограничился целыми неотрицательными числами.

Re: Сэр,

[elcour.livejournal.com]

Ну, естественно, сумма знаков не может быть отрицательной. Или дробной.
Попробуем рассуждать так:
искомое число (каждое из них) равно утроенной сумме своих знаков. Это значит, что оно делится на три. Следовательно, сумма его знаков делится на три.
В таком случае, наше число делится на девять. Значит, и сумма его знаков делится на девять. Значит, оно делится на 27.
И т. п. :?-))

Re: Сэр,

[ge-m.livejournal.com]

Да, это красиво. Элегантно, конечно.
Вот только "и т.п." мне непонятно. Когда вы дойдёте до признака деления на 81, вам всё равно придётся применить эмпирические рассуждения, вроде моих или Аввы, чтобы ограничить себя сверху.

Разумеется.

[elcour.livejournal.com]

Я предлагаю решать задачу отдельно для одно- двух- и более значных чисел.
С первым всё просто. Составив уравнение для третьего класса
x=3x, получаем x=0. (только делить на него не надо:)).
Со вторым предлагаю всё-таки обойтись, по возможности, без эмпирики. Не угодно ли попробовать?
А третье доказать довольно легко (я хочу сказать, доказать, что таких чисел не существует).

Re: Сэр,

[oblomov-jerusal.livejournal.com]

Ещё раньше. Нету такого признака делимости на 27.