задачки

[avva]

Три задачки с простыми условиями. Первая совсем простая, вторая сложнее, третья ещё сложнее (так мне кажется, по крайней мере).

1. На светофоре у перекрёстка горит 30 секунд зелёный свет, потом 30 сек. красный, потом опять 30 сек. зелёный и так далее. Сколько времени в среднем теряет водитель у перекрёстка?

2. Придумать эксперимент с "честной" монеткой (т.е. вероятности выпадения орла и решки равны 1/2), такой, что вероятность успеха эксперимента равна 1/3.

3. Дана некая ограниченная в своих размерах область на плоскости (т.е. некоторая часть плоскости, полностью влезающая в квадрат какого-то, возможно очень большого, размера). Доказать, что существует точка, так что никакая прямая сквозь эту точку не отсекает ровно 1/3 данной области.

Comments

[avva.livejournal.com]

Найдем точку "центра тяжести" области, любая прямая проходящая через эту точку делит область на 2 равных по "весу"

Популярное заблуждение.

Возьмите для примера равносторонний треугольник ABC, у которого длина стороны равна AB=AC=BC=2. Его площадь равна sqrt(3)/4 * (AB^2)=sqrt(3).

Из соображений симметрии центром тяжести может быть только центр треугольника.

Теперь проведите сквозь него прямую, параллельную одной из сторон. Она отсечёт меньший равносторонний треугольник - какого размера? Обозначим: центр O, центр стороны AC - M, и мы проводим прямую сквозь O, параллельную AC. Тогда мы отсекаем треугольник, высота которого будет BO; найдём эту высоту и через неё сторону и площадь.

Длина высоты исходного треугольника BM равна sqrt(3)*AC/2 = sqrt(3) (ведь это высота, т.е. произведение её на сторону равно двойной площади). Треугольник AMO прямой, угол MAO - половина CAB, т.е. 30 градусов. Значит, отношение AM/AO равно cos(30 градусов) = sqrt(3)/2. AM=1, потому что M делит AC пополам. Отсюда AO=2/sqrt(3), и тому же равняется BO, которая является высотой в отсечённом меньшем треугольнике. Тогда сторона отсечённого меньшего треугольника равна AO*(2/sqrt(3)) = 4/3. Отсюда его площадь равна sqrt(3)/4 * (4/3)^2 = 4sqrt(3)/9, т.е. ровно 4/9 от площади первоначального треугольника, а вовсе не половина.

[(Anonymous)]

Угу, да. Тогда так:

Проведём все прямые, которые отсекают ровно треть от нашей области. Обозначим множество точек, принадлежащих и этим прямым и нашей области одновременно, за X. Теперь рассмотрим аналогичное множество Y точек прямых, отсекающих, к примеру четверть области. Если эти множества совпадают, то через любую точку нашей области можно провести прямую, которая одновременно отсекает и треть и четверть, что, очевидно, неверно. Hence, в исходной области существуют точки, не принадлежащие X.

[(Anonymous)]

Бррр... следует читать не "через любую точку нашей области", а "через любую точку из совпадающих множеств X и Y"

[igorlord.livejournal.com]

Не понял. Почему “Если эти множества совпадают ... что, очевидно, неверно”? Мне совсем не очевидно.

[(Anonymous)]

Если эти множества совпадают (любая точка из X принадлежит Y и наоборот), то обозначим X и Y за множество Z. Тогда через любую точку Z можно провести прямую, которая одновременно отсекает и треть и четверть - то есть принадлежит множествам и X и Y одновременно, что, _очевидно_, неверно. Одна прямая делит наше множество либо на 1/3 и 2/3, либо на 1/4 и 3/4, но никак не на 2/3 и 1/4 :)

Ну не знаю как яснее, вроде всё и так прозрачно :)

[igorlord.livejournal.com]

Тогда через любую точку Z можно провести прямую, которая одновременно отсекает и треть и четверть...

Тогда через любую точку Z можно провести прямую, которая отсекает треть и другую прямую, которая отсекает четверть. Почему это дложна буть одна и та же прямая?

[(Anonymous)]

Ну возьмите две точки из множества Z :) Через них можно провести одну и только одну прямую, которая... ну Вы поняли :)). Так можно?

[igorlord.livejournal.com]

Через 2 точки можно провести только одну прямую, конечно. Но при чем здесь эта пямая? Ведь возможно что эти точки А & B находятся в множестве Х не из-за прямой АB, а из-за прямых АC и BD. АC и BD отсекают 1/3, а вот АB может отсекать только 1/pi, на пример.

[(Anonymous)]

Тогда так: Проведём прямую, отсекающую четверть - то есть принадлежащую множеству Y. Все её точки по предположению выше принадлежат множеству Z. Если все точки этой прямой принадлежат множеству X, то они образуют прямую, целиком принадлежащую X. Далее см. выше - противоречие, что и требовалось. Если не все - то мы тоже нашли искомую точку.

[(Anonymous)]

То есть, конечно, вру. Думаю...

[(Anonymous)]

Тогда так: Проведём прямую, отсекающую четверть - то есть принадлежащую множеству Y. Все её точки по предположению выше принадлежат множеству Z. Если все точки этой прямой принадлежат множеству X, то они образуют прямую, целиком принадлежащую X. Далее см. выше - противоречие, что и требовалось. Если не все - то мы тоже нашли искомую точку.

[igorlord.livejournal.com]

Все таки нет. Все точки этой прямой принадлежат множеству Х, но сама прямая множеству Х может не пренадлежать, а точки на ней могут просто пренадлежать бесконечному множеству других прямых, принадлежащих множеству Х.

[(Anonymous)]

Я не понимаю. Есть прямая, целиком составленная из точек множества X. Она же целиком состоит из точек множества Y. Это не одна и та же прямая? :) Прямая принадлежит множеству X, так как каждая её точка принадлежит X, то же самое и для Y.

[igorlord.livejournal.com]

Хорошо. Представьте себе множество Х, которое состоит из точек принадлежащих всем горизонтальным прямым на всей плоскости. Есть так-же множество У, которое состоит которое состоит из точек принадлежащих всем вертикальным прямым на всей плоскости.

Все точки принадлежащие данной прямой из множества Х будут принадлежать множеству У. Из этого, по вашей логике, следует что такого не может быть так как прямая не может быть одновременно вертикальной и горизонтальной. Видите ошибку?

[(Anonymous)]

Да-да, спасибо, теперь вижу :)

Ну не шмогла я... :)

[(Anonymous)]

Да, верно... Тут подсказывают, что прямая может и не принадлежать X, даже если каждая её точка принадлежит X, совершенно правильно.

Тогда всё это отправляется к верблюдам, к сожалению. Да вроде задачку уже и доказали ниже.