правда математики (англ.)
Dec. 28th, 2003 03:55 am![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
avvaПочему математика верна?
— из статьи: Philip J. Davis, When Mathematics Says No, Mathematics Magazine 59/1986, p.70.
Сама статья, впрочем, довольно слабая и малоинтересная, просто это перечисление понравилось.
P.S. Не хватает варианта "Математика верна, потому что всесильна" ;)
It has been said that mathematics is true because it is God-given. Mathematics is true because man has constructed it. Mathematics is true because it is nothing but logic, and what is logical must be true. Mathematics is true because it is tautological. Is is true because it is proved. It is true because it is constructed; its fabric is knit from its axioms as a sweater is knit from a length of yarn. It is true in the way that the rules and subsequent moves of a game are true. It is true because it is beautiful, because it is coherent. Mathematics is true because it is useful. Mathematics is true because it has been elicited in such a way that it reflects accurately the phenomena of the real world.
Mathematics is true by agreement. It is true because we want it to be true, and whenever an offending instance is found, the mathematical community rises up, extirpates that instance and rearranges its thinking. Mathematics is true because, like all knowledge, it is based upon tacit understanding. Mathematics is true because there are numerous independent but supportive avenues to its kind of knowledge which are constantly being reconciled.
It has also been said that mathematics isn't true at all in a rock-bottom sense, it is true only in a probabilistic sense. Mathematics is true only in the sense that it is refutable and corrigible; its truths are eternally provisional. Mathematical truth is not a condition, it is a process. Truth is an idle notion, to mathematics as to all else. Walk away from it with Pilate.
Rattling off this list in a rat-a-tat-tat fashion has very likely induced some vertigo in the minds of readers and a feeling that chaos muse prevail in this most fundamental question of this most fundamental field. But the chaos is something that only philosophers of mathematics contend with. The majority of mathematicians hardly worry about it at all and often regard philosophical speculation with disdain or amusement...
— из статьи: Philip J. Davis, When Mathematics Says No, Mathematics Magazine 59/1986, p.70.
Сама статья, впрочем, довольно слабая и малоинтересная, просто это перечисление понравилось.
P.S. Не хватает варианта "Математика верна, потому что всесильна" ;)
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2003-12-29 04:35 pm (UTC)PS.(к разговору) Не удивлюсь, если вдруг где-нибудь на стыке теории множеств, логики и общей топологии найдется "противоречие в математике". Там ему и место.
no subject
no subject
Date: 2003-12-29 05:08 pm (UTC)no subject
no subject
Date: 2003-12-29 05:31 pm (UTC)логику сдавал дважды, пришлось...
пытался в детстве читать известный перевод Есенина-Вольпина...
(но аксиомы не заучил)
еще увлекался леммой Цорна -- базисы трансцендентности всякие, и это было красиво, но как-то прошло
no subject
Date: 2003-12-29 07:58 pm (UTC)no subject
Date: 2003-12-30 01:21 am (UTC)PS2. Толя, простите за то что тут устроил -- "не вынесла душа поэта позора мелочных обид".
всех с наступающим
no subject
Date: 2003-12-30 02:03 am (UTC)А вообще всё нормально, что Вы - и Вас с наступающим тоже и всего наилучшего в следующем.
no subject
no subject
no subject
no subject
Date: 2003-12-30 08:09 pm (UTC)no subject
Date: 2003-12-30 08:46 pm (UTC)Кроме того, есть очень хорошая книга Metamathematics of First-Order Arithmetic (by Hajek & Pudlak), в которой эти результаты очень систематично и чисто изложены, но там они вплетены в общую канву довольно плотно, не уверен, что можно легко вычленить именно это доказательство, не просматривая предыдущих глав.
no subject
Date: 2003-12-30 08:57 pm (UTC)no subject
Date: 2003-12-29 05:52 pm (UTC)no subject
Date: 2003-12-29 07:34 pm (UTC)no subject
Date: 2003-12-29 11:24 pm (UTC)no subject
Date: 2003-12-30 09:01 am (UTC)Во всей дюжине есть ровно одна (1) аксиома, факт (и момент)использования которой работающий математик осознает (хотя и не всегда безошибочно...) Только на одну аксиому можно встретить явные ссылки в математических работах, не относящихся к теории множеств -- мол, давайте теперь воспользуемся такой-то аксиомой. Это аксиома выбора.
Мораль: науку математику не следует путать с аксиоматическим методом в математике (как это делает Арбат). Но и аксиоматический метод в математике не следует путать с аксиоматическими основаниями математики.
no subject
Date: 2003-12-30 01:46 pm (UTC)"Аксиом в математике около дюжины (и еще сколько-то необщепринятых и не используемых в обычной деятельности). А вот теорем в год публикуется не меньше 100000. Так что математики на самом деле первые полдня просто спят." в ответ на "математики первые полдня выдумывают аксиомы, а вторую полдня выводят из них теоремы, а потом опять аксиомы, а потом опять из них теоремы, и так всю дорогу до пенсии."
Если вам это шутка кажется плохой, я приношу извинения. Я не собирался излагать здесь ни курс философии математики, ни основания теории множеств.
С Новым Годом!
P.S. Мне кажется, вы все же не совсем правы насчет роли оснований (Э. Хрушовски, сферически полные p-адические поля, П. Эклоф и т.п.), но это уже другая тема.
no subject
Date: 2003-12-30 02:33 pm (UTC)Я сегодня не воспринимаю шуток, я не выспался. Поспать первые полдня не удалось. Извините.
А результатов, которые Вы называете, я не читал, но скажу. Что я писал не про роль оснований в широком смысле слова, а про ZFC конкретно. Ее роль очень специфическая. Все на нее кивают, но никто ее не знает; все ею пользуются, но никто этому не рад; все думают, что без нее не прожить, а на самом деле им и арифметика Пеано в полной силе не нужна.
А расскажите -- что за история про сферически полные поля и где можно об этом прочитать?
no subject
Date: 2003-12-30 02:50 pm (UTC)А сферически полные поля - эта такая штука, которая бывает нужна в теории жестких аналитических пространств (кривые Мамфорда и т.д.). Пополнение алгебраического замыкания поля p-адических чисел полно и алгебраически замкнуто, но обладает таким неприятным свойством: существуют последовательности вложенных шаров с пустым пересечением (радиус не стремится к нулю). Если такое пересечение всегда не пусто, поле называется сфреически, или максимально, полным. Это свойство нужно для справедливости аналога теоремы Хана-Банаха, которая, в свою очередь, нужна для приложений к алгебраической геометрии. Известное мне доказательство существования таких полей опирается на теорию ультрафильтров, которая редко встречается за пределами собственно теории множеств. Прочитать можно в Alain Robert, A Course in p-adic Analysis.
Непрофессиональная аудитория полностью проигнорирована...
no subject
Date: 2003-12-30 03:30 pm (UTC)Насколько мне удалось разузнать, в современной математике есть одна (1) важная теорема, использующая грубо-приблизительно что-то подобное полной логической силе ZFC. Это борелевская детерминированность.
А вот что за приложения p-адического Хана-Банаха к алгебраической геометрии?
no subject
Date: 2003-12-30 04:45 pm (UTC)А дискуссия наша приобрела странный характер. Вы утверждаете, что "работающие математики" не знают теории множеств и ей не пользуются. С этим трудно спорить, хотя исключения есть. Вы, очевидно, работающий математик, работающий отнюдь не в теории множеств. Однако вы про все эти штуки много знаете (детерминированность борелевских игр - это все-таки не вводный курс анализа)! Нет ли тут противоречия?