математическое

[avva]

Интересная запись о "ненестандартном анализе" - способе представить идеи анализа, расширяя кольцо действительных чисел элементом dx, квадрат которого равен нулю. Стандартные формулы для производной становятся легковыводимыми тождествами, дифференциал получает очень простой смысл итд. Там же в комментариях упоминаются недостатки этого подхода: неясно, как работать с второй производной, трудно иметь дело с интегралами итд. Мне просто понравилась сама идея.

Comments

[aburachil.livejournal.com]

Что ж это за операция такая "зачёркивание (dx)^2"? Что-то в анализе мне не встречалась, хотя встречалась в школьной физике, где пытались интегрировать/дифференцировать без строгих определений.

[oblomov-jerusal.livejournal.com]

Берем фактор-кольцо по идеалу, порождаемому элементом (dx)^2

[aburachil.livejournal.com]

Это-то и так понятно, и стоит в первой строчке по ссылке, я не о том спрашиваю --- с каких пор "в стандартном анализе" вообще звучит слово "фактор-кольцо", как утверждает оратор свыше...

[faceted-jacinth.livejournal.com]

Ммм.
Я начал сомневаться =)

Вообще если вдруг прыгнуть до разложений в степенные ряды, то можно строго показать, что любая (dx)^2 (или выше) в конце концов оказывается в виде коэффициента при каком-нибудь множителе и должна быть выкинута (по определению первой производной мы берём линейную часть приращения). За исключением тех случаев, когда нужно применять правило Лопиталя -- впрочем, у студентов чувага по ссылке при этом должна внезапно взрываться голова, о чём он тактично умалчивает.

Теоретически, опять же, никто не мешает действительно вначале рассказать кусок производных, потом сразу разложения, потом вывести эту эвристику, натренировать интуицию на производных и вернуться к разложениям. На практике происходит приблизительно то же самое, что у чувака, только он говорит "равно нулю точно" (получая ложные недифференцируемые функции), а мы всё-таки указываем на глубинный смысл всего этого.

Кажется, так, я не уверен, уже пятый стакан вина пошёл =)

[faceted-jacinth.livejournal.com]

А вообще очень странный спор получается. Странность вот в чём: есть как бы стандартный анализ, который строгий и упорядоченный. Опытный математик может его изучить в естественном порядке, неопытным же студентам его рассказывают довольно загадочным образом, периодически давая отсылки вперёд, "потом поймёте, а пока поверьте".

Тут он противопоставляется внутренне строгой штуке, которая позволяет вычислять некоторые производные. Как бы. Как бы вычислить как бы производные. Потому что то, что в результате замены (dx)^2 на ноль получаются именно производные действительно нужно доказывать -- что, собственно, Вы и попросили (неявно) меня сделать (насколько я понял). Не, ну серьёзно, а почему бы не заменять (dx)^2 на, скажем, семнадцать с половиной? Тоже получится какая-то внутренне непротиворечивая теория (набор истинных и ложных утверждений), всё прекрасно вроде. Но нет, заменяем именно на ноль, потому что на двух или трёх функциях с интуитивно понятными производными получились нужные значения. Круто, и что? Ну замели мы под ковёр задачу доказывания, убедили студентов в том, что её как бы и нет, разве это повод гордиться?