математическое
Sep. 1st, 2007 07:52 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
avvaИнтересная запись о "ненестандартном анализе" - способе представить идеи анализа, расширяя кольцо действительных чисел элементом dx, квадрат которого равен нулю. Стандартные формулы для производной становятся легковыводимыми тождествами, дифференциал получает очень простой смысл итд. Там же в комментариях упоминаются недостатки этого подхода: неясно, как работать с второй производной, трудно иметь дело с интегралами итд. Мне просто понравилась сама идея.
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2007-09-01 05:12 pm (UTC)no subject
Date: 2007-09-01 05:18 pm (UTC)no subject
Date: 2007-09-01 05:38 pm (UTC)no subject
Date: 2007-09-01 05:45 pm (UTC)no subject
Date: 2007-09-01 05:52 pm (UTC)no subject
Date: 2007-09-01 06:06 pm (UTC)Я не понял, в чём, собственно, новизна и крутость подхода. Когда в стандартном анализе считаются производные, делается вообще всё то же самое, с точностью до символа. Вообще всё то же самое. Кроме того, что при зачёркивании (dx)^2 говорится не "это равно нулю", а "это настолько мало, что нас не интересует". С чего чуваг-то радуется? С того, что если сказать детям красивую-не-совсем-правду, то им чуточку легче решать упражнения? Круто, чё. Только я б не стал, всё таки. С того, что если детей упражнениями как следует прогрузить, то они вырабатывают разные полезные интуиции и соскакивают с калькуляторной зависимости? Круто, чё, но это как бы и так всем известно должно быть -- учителям совсем обязательно.
Или, может быть, он какие-то стандартные теоремы для кольца (всё-таки тут именно кольцо, а не поле должно быть ИМХО) заюзал ко всеобщему удивлению? Нет, те дети понятия иметь не могли о тех теоремах.
Не знаю, может, я не вижу чего-то, а может, слишком строг. Даже прикольно с другой стороны: в принципе, что стандартный анализ, что вот эта вот штука, на самом деле являются одинаковыми не-совсем-правдами, то есть во многие свойства студентам приходится просто поверить, а понимание того, откуда что берётся (то есть умение работать), наступает на два года позже для обеих тем. Но эта штука забавна и необычна на вид, поэтому студентов должно с неё переть. Хотя и стандартный анализ, наверное, можно рассказать так, чтоб пёрло.
no subject
Date: 2007-09-01 06:12 pm (UTC)no subject
no subject
Date: 2007-09-01 06:17 pm (UTC)no subject
Date: 2007-09-01 06:21 pm (UTC)no subject
Date: 2007-09-01 06:23 pm (UTC)no subject
Date: 2007-09-01 06:25 pm (UTC)Про случай одной переменной (вместе с практическими примерами) неплохо описано здесь (http://users.info.unicaen.fr/~karczma/arpap/diffalg.pdf). Была ещё интересная статья про применение автоматического дифференцирования в компьютерной графике, если найду, кину ссылку.
В нескольких блогах весной-в начале лета приводились примеры реализации на хаскелле, я на нём же недавно писал идейно тот же самый алгоритм, только автоматически дифференцирующий символьные выражения (особой причины делать так вроде нету, просто экспериментировал).
no subject
Date: 2007-09-01 06:26 pm (UTC)no subject
Date: 2007-09-01 06:27 pm (UTC)no subject
Date: 2007-09-01 06:36 pm (UTC)Anders Kock, “Differential calculus and nilpotent real numbers (preprint)” (http://home.imf.au.dk/kock/real.PDF)
Jerzy Karczmarczuk, “Lazy Time Reversal, and Automatic Differentiation” (http://citeseer.ist.psu.edu/rd/952052%2C604718%2C1%2C0.25%2CDownload/http://citeseer.ist.psu.edu/cache/papers/cs/29339/http:zSzzSzusers.info.unicaen.frzSz%7EkarczmazSzarpapzSzrevpearl.pdf/lazy-time-reversal-and.pdf)
Barak A. Pearlmutter, Jeffrey Mark Siskind, “Lazy Multivariate Higher-Order Forward-Mode AD” (http://www.bcl.hamilton.ie/~qobi/tower/papers/popl2007a.pdf) — вот тут приводится обобщение на случая многих переменных
Dan Piponi, “Automatic Differentiation, C++ Templates and Photogrammetry” (http://homepage.mac.com/sigfpe/paper.pdf) — вот тут про реализацию на C++ и использование в компьютерной графике
no subject
Date: 2007-09-01 06:39 pm (UTC)no subject
Date: 2007-09-01 06:39 pm (UTC)no subject
Date: 2007-09-01 06:55 pm (UTC)no subject
Date: 2007-09-01 06:56 pm (UTC)Я начал сомневаться =)
Вообще если вдруг прыгнуть до разложений в степенные ряды, то можно строго показать, что любая (dx)^2 (или выше) в конце концов оказывается в виде коэффициента при каком-нибудь множителе и должна быть выкинута (по определению первой производной мы берём линейную часть приращения). За исключением тех случаев, когда нужно применять правило Лопиталя -- впрочем, у студентов чувага по ссылке при этом должна внезапно взрываться голова, о чём он тактично умалчивает.
Теоретически, опять же, никто не мешает действительно вначале рассказать кусок производных, потом сразу разложения, потом вывести эту эвристику, натренировать интуицию на производных и вернуться к разложениям. На практике происходит приблизительно то же самое, что у чувака, только он говорит "равно нулю точно" (получая ложные недифференцируемые функции), а мы всё-таки указываем на глубинный смысл всего этого.
Кажется, так, я не уверен, уже пятый стакан вина пошёл =)
no subject
Date: 2007-09-01 07:15 pm (UTC)Тут он противопоставляется внутренне строгой штуке, которая позволяет вычислять некоторые производные. Как бы. Как бы вычислить как бы производные. Потому что то, что в результате замены (dx)^2 на ноль получаются именно производные действительно нужно доказывать -- что, собственно, Вы и попросили (неявно) меня сделать (насколько я понял). Не, ну серьёзно, а почему бы не заменять (dx)^2 на, скажем, семнадцать с половиной? Тоже получится какая-то внутренне непротиворечивая теория (набор истинных и ложных утверждений), всё прекрасно вроде. Но нет, заменяем именно на ноль, потому что на двух или трёх функциях с интуитивно понятными производными получились нужные значения. Круто, и что? Ну замели мы под ковёр задачу доказывания, убедили студентов в том, что её как бы и нет, разве это повод гордиться?
no subject
Date: 2007-09-01 09:30 pm (UTC)no subject
Date: 2007-09-01 09:36 pm (UTC)no subject
Date: 2007-09-03 07:10 am (UTC)