мимоходом, математическое

[avva]

Доказать, что любая норма, соблюдающая тождество параллелограмма, порождена скалярным произведением, оказалось не так легко, как я думал. То есть это утверждение маскируется под совершенно очевидное, но потом оказывается, что надо немного поработать.

Интересно, какие есть интересные примеры обратного: когда утверждение кажется глубоким и нетривиальным, а потом неожиданно поддается практически тривиальному доказательству.

Comments

[akuklev.livejournal.com]

Однажды, дико скучая на уроке геометрии в седьмом классе, я совершенно случайно доказал это дело, экспериментируя с нормами. Вначале, конечно, для действительного случая. Потом дома обобщил для комплексного. Я не стал бы назвать нетривиальным доказательство, которое не слишком выдающийся семиклассник может доказать в ходе игровых экспериментов от скуки.

[avva.livejournal.com]

По-моему, неважно, как его называть. Мне показалось забавным несовпадение между ожиданием - того, что оно будет настолько же немедленным, как, скажем, вывод неравенства треугольника из Коши-Шварца - и реальностью, в которой пришлось что-то писать и думать, и даже немало.

В седьмом классе, думаю, я ничего не знал про строгое определение и свойства непрерывности, так что доказать его не смог бы при всем желании.

[akater.livejournal.com]

> Интересно, какие есть интересные примеры обратного

Бесконечность множества простых чисел.

[peysakhovich.livejournal.com]

А называется всё это теоремой фон Неймана—Йордана =)

А эквивалентность любых двух норм в конечномерном пространстве считается глубоким и нетривиальным? :)

[kovalevskaya.livejournal.com]

То, что линейный оператор в нормированном пространстве непрерывен тогда и только тогда, когда ограничен)

[captain-solo.livejournal.com]

непрерывная недифференцируемая фунуция на отрезке

[alex-levit.livejournal.com]

Среди частей, на которые разбивают плоскость n прямых общего положения, найдется не менее n-2 треугольников. Проблема, если не ошибаюсь, была открытой лет сто. Допускает доказательство в несколько строчек.

[flaass.livejournal.com]

И с тех пор служит олимпиадной задачей. А что, сто лет назад ее кто-то в явном виде формулировал как недоказанную гипотезу?

[flaass.livejournal.com]

На моей памяти случилось такое с теоремой Шпернера о максимальной антицепи в частичном порядке подмножеств n-множества (что максимум это средний слой). в 70х годах ей придумали тривиальное доказательство.

[alex-levit.livejournal.com]

Про треугольники была статья в Кванте. Проблему поставили в 1870, а решили только в 1979. Проблема Сильвестра (дано конечное множество точек на плоскости; если не все они лежат на одной прямой, то найдется прямая на которой лежат ровно две точки) оказалась попроще. Ее поставили в 1893, а доказательство опубликовали в 40-х. Тоже вполне олимпиадная задачка.
Ну и самый известный пример -- теорема Ферма. Есть совсем простое доказательство, но к сожалению окно для ввода мало.

[avva.livejournal.com]

О, спасибо за идеальный пример проблемы Сильвестра. Самому не пришло в голову.

[flaass.livejournal.com]

История с Сильвестром продолжалась еще долго; последний штрих so far - 2003 год:
The Sylvester-Chvatal Theorem

[etre-moral.livejournal.com]

Какое док-во Вы имеете в виду, вывод из неравенства Ямамото (и ещё двух авторов, фамилии которых я забыл)?

[flaass.livejournal.com]

Я тоже забыл; LYM-inequality.
Именно это доказательство совсем пальцевое:
"Тривиально сосчитать, сколько макс. цепей проходит через каждый элемент. Минимум этой

[flaass.livejournal.com]

функции достигается в середке; тоже тривиально. Отсюда сразу оценка Шпернера.

[etre-moral.livejournal.com]

Да, конечно.

Благодаря Вашей аббревиатуре я вспомнил: Любель-Мешалкин-Ямамото :-)

[stranger-p-a.livejournal.com]

Теорема о том, что любой сходящийся ряд можно так перераспределить, что он будет сходиться к произвольному заранее заданному числу (в т.ч. плюс-минус бесконечности). Если не ошибаюсь, это теорема Римана.

[etre-moral.livejournal.com]

любой неабсолютно сходящийся

[stranger-p-a.livejournal.com]

Конечно, спасибо, - в формулировке теоремы пропущено слово "условно" :)

[flaass.livejournal.com]

Еще пример: трансцендентные числа до и после Кантора.

[dimmik.livejournal.com]

Доказать что любое простое число представимо в виде a^b + b^a

[myckolah.livejournal.com]

Причём, a=1? :)

[dimmik.livejournal.com]

а и бэ натуральные ;)

[myckolah.livejournal.com]

ну, я же и говорю, если a положить равным 1, то b необходимо будет натуральным (и равным p-1)
:)

[cousin-it.livejournal.com]

Вы, конечно, видели уже, но для дискуссии будет полезна ссылка на пост Ааронсона "Sidesplitting proofs" (http://scottaaronson.com/blog/?p=392).

[avva.livejournal.com]

Ничего, я уже успел забыть об этом. Спасибо, там есть несколько хороших примеров.