категории (математическое)

[avva]

По мотивам нескольких жарких дебатов в ЖЖ третий день размышляю праздно о том, есть ли реальная возможность объяснить, что такое теория категорий и чем она занимается, далеким от математики людям. Уже несколько раз решал, что все-таки может быть можно, а потом передумывал и приходил к выводу, что никак.

Мне кажется, что основная проблема тут в том, что представление широкой публики о математике не включает в себя ни в каком виде понятие аксиоматической структуры. Самое близкое к этому, что есть - это идея неевклидовой геометрии, но она недостаточно развита (в популярном представлении), чтобы можно было взять и сразу так говорить о пространстве как объекте. То есть перед тем как говорить что-то о категориях, совершенно необходимо что-то говорить о полях или о группах, например. Постараться - в этом смысле - перенести слушателя в ранний 20-й век из раннего 19-го. Но уже на этой стадии слишком легко этого слушателя попросту потерять, мне кажется.

Есть ли удачные попытки объяснить категории неспециалистам? Насколько это возможно?

Comments

[ayametoo.livejournal.com]

получается, надо как-то отойти от исторической структуры математического образования (я о том, что школьные знания заканчиваются 19 веком)

но в принципе, мне кажется, что достаточно поговорить какое-то время о категориях с человеком, внимательно слушающим, хоть и неспециалистом, используя примеры-аналогии

[vanja-y.livejournal.com]

Математические понятия нельзя объяснять аналогиями. Если в математике возникает большой запас аналогичиных понятия/объектов, то тут же возникает необходимость создания новой абстракции, которая бы включала в себя суть этой аналогии.

[navi03.livejournal.com]

Объяснить можно. Среди массы найдутся люди, которые вас поймут. Но тут вопрос в том, что нужно вам: донести до большинства или до конкретных людей, или вас всего лишь интересует вопрос "возможно ли объяснить такое в принципе хотя бы одному человеку"?

[itman.livejournal.com]

Анатолий, Вас читает много людей, которые скромно считают себя специалистами. Я в последнее время много слышу про теорию категорий, но так до сих пор и не уяснил, а к чему это относится, а также имеет ли это какой-то практический смысл. Когда я задавал этот вопрос некоторым людям, увлекающимя теорией категорий, они уходили от ответа.
Помнится, кто-то из великих говорил, что ученый, который не умеет на пальцах объяснить совю теорию ребенку - занимается чем-то неправильным. Так вот, оставим в стороне детей. Можно ли теорию категорий объяснить хотя бы довольно подкованным людям?

[orleanz.livejournal.com]

" Можно ли теорию категорий объяснить хотя бы довольно подкованным людям?

я бы драматизировал вопрос таким образом - можно ли объяснить теорию категорий умному программисту (который раньше с ней не сталкивался)?

[roma.livejournal.com]

при чем здесь аксиоматические структуры? Аксиоматика -- скорее технический способ оформлять идею, надо бы говорить о содержательной стороне идеи. Или речь о том что такое абстрактная математика вообще?

[avva.livejournal.com]

Я говорю не об аксиоматическом методе формализации математике. "Аксиомы" не в смысле "аксиомы теории множеств", а в смысле "аксиомы группы/векторного пространства/топологического пространства" итд.

[roma.livejournal.com]

а в "n-category cafe" не нашлось чего-н по вкусу?

[avva.livejournal.com]

Я ни разу не видел, чтобы они пытались что-то объяснить для совершенно нематематических людей. Правда, я не читаю их постоянно.

[shmel39.livejournal.com]

Мне кажется, что это было бы сложно. Хотя бы потому что теория категорий (да и значительная часть математики 20го века) уже несколько отошла от бытовой иллюстративной физики - раньше огромная часть матаппарата была сформирована как обобщение каких-либо идей, наблюдений реальности. Поэтому и объяснялось из принципа: "ну смотри как оно бывает в эксперименте, вот мы придумали примерно такое же только применимое еще здесь, там и еще хрен знает где".

Когда же теория мотивируется собственными внутриматематическими проблемами (или современной теорфизикой), то объяснить её без этого бэкграунда почти невозможно. Короче говоря, раньше был хороший бэкграунд: экспериментальная физика.

[buddha239.livejournal.com]

Уже квадратные уравнения не силнь наглядны, а уж теория Галуа...:)

[sanmai]

http://www.cs.toronto.edu/~sme/presentations/cat101.pdf

[avva.livejournal.com]

Посмотрите на пятый слайд и скажите мне, что вы всерьез предлагаете это в качестве введения для неспециалистов.

Собственно, само название "... for software engineers" глубоко неадекватно, от software engineer до этой презентации как до луны.

[posic.livejournal.com]

Теория категорий бывает очень разная. Начиная от простейших понятий категории, функтора, естественного преобразования, универсального объекта, сопряженного функтора, и т.д., которые действительно обычно используются как язык. И кончая совершенно уже навороченными современными теориями locally accessible categories (или как там их), well-generated triangulated categories, нестрогими поликатегориями, и т.д. Со многими промежуточными остановками на этом пути.

Со вторым вашим абзацем я совершенно согласен.

[pussbigeyes.livejournal.com]

Пытался популяризировать популяризаторов http://pussbigeyes.livejournal.com/114413.html
Скорее, неудачно...

[pussbigeyes.livejournal.com]

И как-то так еще http://ivanov-petrov.livejournal.com/531874.html?thread=16525474

[psilogic.livejournal.com]

Мне кажется, объяснить, что такое аксиоматика, совсем нетрудно - школьная геометрия у всех была, так что есть наглядный и привычный пример. Если захотите, можете поэкспериментировать надо мной - я знаю, что такое аксиоматические системы, но теорией категорий никогда не интересовался, слышал только название, так что эксперимент будет в каком-то смысле чистым. :)

[anhinga-anhinga.livejournal.com]

Естественной идеей было бы попытаться сделать введение в категории на базе теории графов и без упора на аксиоматику.

Я не знаю, пробовал ли кто-нибудь...

[(Anonymous)]

Ага, только вот хотел рассказать, как построить категорию из карты метро. Но потом задумался — непонятно, что с этим дальше делать. Как на этом примере ввести функторы, естественные преобразования и прочие кокосыкоконусы? Я, правда, не специалист, каких-то очевидных вещей могу не понимать. Это можно сделать? Можете показать на пальцах?

[lucky--man.livejournal.com]

А я большой противник аксиоматического подхода. Более того, считаю, что он отбросил математику этак конкретно назад.

Про категории уже успел забыть (хоть и занимаюсь математикой профессионально), сейчас освежил.
Ну что в них такого? Можно изобразить в виде базы данных, набора таблиц, которые хранят объекты и морфизмы между ними. Так организовать таблицу, чтобы выполнялись необходимые свойства морфизмов, благо их совсем не много.

Действительно, просто удобный язык для записи теорем. Зачем он в программировании, я слабо представляю, но возможно для организации каких-нибудь специфических данных он удобен.

[(Anonymous)]

он удобен для организации програм вобще, любых. типы данных — объекты некоторой категории, (под)программы — ее морфизмы, (многие) структуры данных — функторы, ну это долго рассказывать. профессиональному категорщику это все неинтересно, конечно. детский сад, младшая группа.

[aman-geld.livejournal.com]

Из "свежего" - пример статьи из Telegraph, в которой они пытаются популярно рассказать своим читателям о последних открытия в теории больших кардиналов - Large cardinals: maths shaken by the 'unprovable'

Из, скажем так, чуть более успешных проектов в голову приходит Хофстадтер, который практически жизнь положил на то, чтобы объяснить неспециалистам теорему Гёделя (это не теория категорий, конечно, но в принципе сопоставимая по сложности задача, имо). В последней своей книге, I Am Strange Loop, он этого, кажется, достигает, имо опять же.

Но это очень, очень, очень много работы, постоянный поиск метафор, примеров, сравнений, которые бы были более-менее понятны многим. Повторы, пояснения, новые пояснения. Ну, и талант, да.


[Дальше будет невинная попытка раздуть флейм - а с какой вероятностью неспециалисту можно вот так взять и объяснить работы Фрейда Хайдеггера? или Делёза? Почему не кажется невозможным проект "книжку купил - почитал, лекцию Дерриды п(p)ослушал - ролик на youtube-e посмотрел; ну всё, понятно теперь"? Можно же каким-то шестым чувством предположить, что для работы с их теориями/текстами нужно умение очень сложно устроенные мысли складывать в голове, что обычно даётся годами соответствующего погружения в предмет (точно так же, как и в математике). Или нельзя, потому что они не используют формул?

В той статье, на которую я сослался, показательны, как обычно, ещё и комменты - есть, конечно, интересные, но в целом это ушаты пошлостей и благоглупостей. Но их легко (математику) отсеивать именно как таковые, как пошлости и благоглупости. А если прочитать комменты к какой-нибуль свежей работе Жижека (например), в стиле 'I keep looking for more meat, but I just can't seem to find it', то почему мы норовим обвинить в этом автора, а не читателя?]

[peon-ninja.livejournal.com]

В случае математических результатов есть процедура, общеизвестная, и доступная любому желающему, с помощью которой можно проверить доказательство и убедиться что результат/"мясо" есть.

В случае Жижека такой процедуры нет, В связи с чем скептикам предлагается считать себя дураками и автоматически предполагать что там "мясо" есть. Я вас правильно понял?

[gershshpraihler.livejournal.com]

для начала нужно принять за аксиому, что что-то кому-то можно объяснить.

[posic.livejournal.com]

Я предлагаю, прежде чем принимать что бы то ни было за аксиомы, научиться пользоваться кванторами.

1. Что-то кому-то можно объяснить.
2. Но не существует никого, кому можно было бы объяснить все.
3. И не существует ничего, что можно было бы объяснить всем.
4. Но всякую вещь можно объяснить кому-то.
5. И всякому человеку можно объяснить что-то.

(Утверждения 1-5 мои. Принимать их за аксиомы или доказывать как теоремы -- зависит от того, какие цели преследует изложение и на кого оно рассчитано.)

[akalenuk.livejournal.com]

Есть отличная книжка Яна Стюарта, которая как раз и посвящена переводу из девятнадцатого века в двадцатый. Правда, теории категорий там нет, вообще книга была написана в начале семядесятых. Но зато есть, например, абстрактая алгебра, теория множеств, включая понятие мощности и кардинальных чисел, даже алгебраическая топология. То есть как раз конец девятнадцатого, начало двадцатого, если я правильно понимаю о чем речь.

книжка Яна Стюарта

[azonips.livejournal.com]

Спасибо за наводку

[ilia-yasny.livejournal.com]

Как говорится, если вы не можете объяснить это своей бабушке - вы этого не понимаете.
А вы проведите эксперимент: расскажите на страницах ЖЖ, и пусть люди ответят, кто что понял и у кого какая подготовка. Также они могут скопировать к себе с условием сделать то же самое и рассказать о результатах.

[ygam.livejournal.com]

Зачем далеким от математики людям это знать?

Я в прошлом, кажется, году прочитал книжку 1931 года про Талмуд; там говорится, что Талмуд не переведен на английский. Хочешь знать Талмуд - учи арамейский и иврит.

[avva.livejournal.com]

Есть переводы; самый известный называется Soncino Edition.

[raindog-2.livejournal.com]

На недавней встрече с Каспаровым ему задали вопрос о шахматах - "как эффективнее повысить уровень игры человеку, который не готов посвящать себя (значительное время/усилия) шахматам"? Он ответил - "а зачем? Зачем повышать уровень игры, если ты не готов посвящать себя шахматам?"

Требуются уточнения

[(Anonymous)]

Как и часто бывает в подобных случаях, задача так и осталась несформулированной.

Прежде всего неясно, кому мы собираемся излагать. "Неспециалисты" бывают разные. Примеры: гуманитарий | физик | программер | матшкольник.
Во-вторых, следует указать уровень, до которого мы хотим "поднять" человека. Примеры уровней: чисто интуитивное представление о том, чем занимается ТК и для чего она нужна | понимание некоторых терминов и фактов | глубокое понимание, позволяющее читать книжки и статьи вокруг этой темы.
В-третьих, следует указать временные ресурсы, которыми мы располагаем. Пять минут | полтора часа | семестр | время, необходимое для введения в общематематические дисциплины 1-й половины XX в. и обобщения их явлений до категорного подхода.

Вот я уже привёл 4 * 3 * 4 = 48 вариантов постановки задачи. Во всех случаях ответы будут разные.

В некоторых случаях ответ "невозможно". Примеры: <1,2,1>, <2,2,1>, <3,2,1>.
В некоторых случаях ответ "не нужно или даже вредно". Пример: <1,2,3>.
В некоторых случаях ответ "возможно, но нереально трудно". Пример: <3,2,2>.
В некоторых случаях ответ "возможно и выполнимо, но до сих пор никто не сделал". Пример: <4,3,4>.
В некоторых случаях ответ "легко и успешно делается". Примеры: <1,1,2>, <2,1,1>, <3,1,1>, <4,1,1>, <4,2,3>.

И вообще, если на какой-то стадии "слушателя легко потерять" (причём это не зависит от способа изложения), то для такой стадии ответ будет "не нужно или даже вредно".
Гораздо интереснее найти хороший способ изложения.

Re: Требуются уточнения

[posic.livejournal.com]

Я думаю, если вы возьметесь осуществить здесь (или в ином журнале) в комментах <2,1,1>, ряду читателей (этой или предшествовавших дискуссий) будет очень интересно. И они будут вам признательны, если у вас получится.

[leblon.livejournal.com]

По-моему, нет существенной разницы между Вашим вопросом и таким: можно ли объяснить неспециалисту, что такое группа. Вот моя попытка сделать и то и другое практически теми же словами.

Пусть у нас есть какие-то объекты с которыми мы можем что-то делать: превращать один объект в другой. Эти превращения будем называть преобразованиями. Преобразования можно совершать одно за другим, т.е. тут заложено некоторое понятие временной упорядоченности. Можно, например, думать про объект как состояние какой-то машины, а про преобразования - как про переходы из одного состояния в другое. Теория категорий занимается изученим таким "машин".

Пояснения:
1. Тождественное преобразование, когда мы не делаем ничего, тоже считается за преобразование.
2. Преобразования необязательно обратимы. Т.е. необязательно можно сделать преобразование "в обратном порядке" и вернуться в исходное состояние. Если машина "обратимая", то у такой "машины" есть специальное название - группоид.

Интересна даже ситуация, когда мы рассматриваем только одно состояние, и соответственно только те преобразования, которые всегда возвращают нас в это состояние. Если при этом мы рассматриваем только обратимые преобразование, то получаем еще один специальный класс "машин": группы. Такими "машинами" занимается теория групп.

Дальше должны следовать примеры, например: положение автомобиля в городе (если разворот не всегда позволен, то это необратимая "машина"), расстановка мебели в комнате (это обратимая "машина"), макроскопические фазы вещества и фазовые границы между ними.

[ru-pchel.livejournal.com]

Все очень даже понятно, спасибо. А дальше? :)

[and2u.livejournal.com]

IMHO, от целевой аудитории зависит.
Если Вы о технических деталях - без математики никак.

[potan.livejournal.com]

По моему самое сложное - мотивация слушающего.
Мотивация ТК лежит в далеких от школьных, хоть и не сложных, областях математики.
Вот если бы в школах проходили на элементарном уровне теорию групп, линейную алгебру и топологию, объяснять ТК было бы гораздо проще.

[luar-soll.livejournal.com]

Хм, надо поймать какого-нибудь неспециалиста и попробовать. Может, попутно сам разберусь..

[navi03.livejournal.com]

Всё-таки непонятно, какая задача стоит перед вами. Вы просто "размышляете праздно", и у вас нет ни конкретного слушателя, ни конкретной цели?

Вы просто вдруг подумали: "А интересно, если уж такую простую вещь невозможно объяснить, то можно ли ли объяснить что-нибудь по-настоящему сложное, теорию категорий, например..."? Так?

В таком случае, если вам самому по-настоящему интересно знать ответ, у вас есть достаточно большая аудитория здесь, (я, например, ни одной ногой не математик) и многие, я уверена, дослушают вас и, возможно даже не потеряются. Просто попробуйте. :-)

[hitroum.livejournal.com]

Учебник по теории категорий для программистов
http://www.di.ens.fr/~longo/download.html
и здесь всяких книжек было до фига
http://community.livejournal.com/category_theory/2190.html

[(Anonymous)]

Ну все-таки между программистом и working computer scientist есть разница.