задачка (математическое)

[avva]

Поздравляю, вас зовут Эрнест Джозеф Кинг, и вы командуете флотом США во время Второй Мировой войны!

Сегодня от вас требуется принять решение: построить один большой корабль-авианосец, или два малых. Стоимость большого авианосца - включая абсолютно все затраты - ровно такая же, как двух малых. Авианосцы вам нужны, чтобы выполнить некое секретное задание. Авианосец либо выполняет это задание, либо его уничтожает враг. При этом у большого авианосца вероятность выполнить задание успешно в два раза больше, чем у малого. Малые авианосцы работают независимо друг от друга: если один из них уничтожен, второй все еще может выполнить задание, и риск одного из них не зависит от риска второго.

Что вы выберете - построить один большой, или два малых?

Comments

[twisthead.livejournal.com]

два малых

[aintlion.livejournal.com]

Тоже так думаю.

[nm-work.livejournal.com]

пусть вероятность того, что выживет маленький - x, вероятность погибнуть 1-x
вероятность не завершить задание у маленьких - (1-x)^2 - когда погибают оба маленьких авианосца.

вероятность выжить большого - 2x и соотв. вероятнсоть погибнуть - 1-2x.

(1-x)^2 = 1-2x+x^2 > 1-2x

строить два маленьких выгодней на этот самый x^2 :)

или я тут вообще тотально во всем ошибаюсь ;)

[nm-work.livejournal.com]

строить два маленьких НЕ выгодней на этот самый x^2

чуть ошибся с выводами :)))))

[french-man.livejournal.com]

:))))))))))

[aanabar.livejournal.com]

Большой, разница на p^2.

[freetrinity.livejournal.com]

противоинтуитивно, но похоже, что большой лучше строить

[sofik.livejournal.com]

есть какая-то фишка или просто проверка на знание теории вероятности?

[avva.livejournal.com]

Есть (резонное, на мой взгляд) мнение, что правильный ответ противоречит на первый взгляд интуиции, и этим данная действительно несложная задачка интересна.

[furry.livejournal.com]

Вероятность выполнения миссии большим кораблем: x
Вероятность провала миссии одного большого: 1 - x
Вероятность провала миссии двух маленьких - вероятность двух независимых событий, т.е. (1-0.5x)*(1-0.5x) = (1-0.5x)^2 = 1 - x + 0.25x^2
As 0.25x^2 > 0 для любого x - большой корабль вероятнее выполнит миссию.

Подозрительно легко ;) Самым сложным было вывести забытую формулу (1-a)^2 :))))

[karakal.livejournal.com]

Все же хорошо, что миром не всегда правит математика.

Два авианосца - куда лучше и надежнее, чем один, в бытовом и военном смысле.
А в экономическом смысле - если такую огромную махину построят ради выпонения одной задачи...

В общем, хорошо, что не всегда математика.

[drw.livejournal.com]

ржу

независимость тут не

[a-shen.livejournal.com]

важна - если речь идёт о вероятности выполнения задания (а не, скажем, о потерях), то большой всегда выгоднее (разве что выполнение задания малыми исключают друг друга) - странно, что это вызывает сложности...

Re: независимость тут не

[avva.livejournal.com]

Мне кажется, что интуиция на первый взгляд подсказывает, что два малых лучше, т.к. они "подстраховывают" друг друга.

[meshko.livejournal.com]

Я не могу думать о вероятностях, у меня сразу начинает чесаться в носу.
Поэтому скажем так:
если у маленького вероятнсоть выполнить 1/2, то у большого 1.
Следовательно, надо строить большой.

[prosto-tak.livejournal.com]

Да, так проще всего.

[geneus.livejournal.com]

Если требуется максимизировать вероатность выполнения задания, то один большой лучше:

Примем вероятность его успеха за Х:

Тогда вероятность, что один из маленьких добьется успеха Х/2
Что один не добьется, но второй добьется: (1-Х/2)*Х/2
Совокупная вероятность этих комплиментарных событий: Х/2 + (1-Х/2)*Х/2 = Х-Х2/2 - т.е. заведомо меньше Х.

[bukky-boogwin.livejournal.com]

Если вероятность выполнения задания большим авианосцем принять за n, то вероятность выполнения его двумя малыми равна n/2 + (1 - n/2)n/2 = 0,75n. Так что надо строить большой.

[peacemaker78.livejournal.com]

Если шанс успеха большого это Р , то строить большой выгодней на 1\4*Р^2

[rezoner.livejournal.com]

Ответ особенно хорошо звучит от человека с Вашим ником :))

[marusja.livejournal.com]

Читаю комментарии и понимаю, что математику мне надо было вообще-то учить. Хнык.

[avva.livejournal.com]

(почти) никогда не поздно :)

Re: Постановка -- наше все.

[creaturen2.livejournal.com]

Я подзабыл, что такое МО, поэтому могу ошибаться. Если так, поправьте.

Пусть с -- стоимость маленького, 2с -- большого. S(x) - вероятность денежного ущерба для варианта с маленькими, L(x) -- с большими. Также пусть p - вероятность выполнить миссию у маленького корабля, 2p - у большого.

Рассмотрим L(x). Ее значения: L(0) = 2p, L(2c) = 1-2p.
Мат ожидание M(L) = 0*2p + 2c(1-2p) + c*0 = 2c(1-2p)

Рассмотрим S(x). Ее значения: S(c) = p(1-p), S(2c) = (1-p)^2, S(0) = 1 - (1-p)^2
Мат ожидание M(S) = cp(1-p) + 2c(1-p)^2 = 2c - 3cp + cp^2

Вычислим M(S) - M(L): 2c - 3cp + cp^2 - 2c(1-2p) = cp(p+1) > 0, т.к. c > 0 и p > 0.

Т.о., M(S) > M(L), МО ущерба для двух малых больше, чем для одного большого. Или я где-то неправ?

[taganay.livejournal.com]

Действительно, интуиция вроде говорит, что два маленьких выгоднее.
Хотя если взять простенький пример: пусть вероятность выживания маленького - 1/2. Тогда большой выполняет задание с вероятность 1. Что, кстати, тоже вполне интуитивно понятно.

[creaturen2.livejournal.com]

Подобные примеры очень часто заводят не туда. Если вероятность выживания маленького больше 1/2, то вероятность выживания большого, следуя такой логике, должна быть больше 1. Интуицию противопоказано применять в задачах тервера (разве что вы математик, и ваша интуиция нужным образом "доработана" :)).

[colonel-bob.livejournal.com]

В войне победа важнее цены и потерь.
Будем строить один большой - Я СКАЗАЛ!

[neatfires.livejournal.com]

Удивлен, что никто не написал слово "дерево", as in "дерево вероятностей". Неужто никто это в школе не учил?

[furry.livejournal.com]

А зачем, у нас же здесь всего два независимых события.

[northern-witch.livejournal.com]

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%281-%281-x%29^2%29%3C2*x

Первая часть неравенства — вероятность успеха при ставке на малые корабли, вторая — на большой. Большой выгоднее, так как неравенство выполняется на всей области определения, кроме нуля. Но в нуле — нулевая вероятность успеха обеих миссий.

[pesec.livejournal.com]

Тема похожа на ту, что вашем посте о пожертвованиях.

[avva.livejournal.com]

Математический аргумент совсем другой, хотя определенное сходство просматривается, вы правы - а я и не заметил.

[mao-pe-zdun.livejournal.com]

пусть:
x - вероятность выполнить у маленького
2x - у большого

тогда, в случае маленьких, называем их "первый" и "второй" и имеем исходы:
"первый" выходит на задание первым и:
1. погибает (1-x), "второй" погибает (1-x)
2. погибает (1-x), "второй" выполняет x
3. выполняет x, "второй" - отбой

итого, нужный результат, если "первый" выходит на задание первым:
1/2*(1-x)*x + 1/2*x = x-1/2*x*x

то-же самое, если "второй" выходит на задание первым.
итого, для маленьких, вероятность нужного исхода = 2x-x*x
маловероятнее, чем у большого

итого: строим один большой

[qvz.livejournal.com]

Вернее неравество 2x-x^2 > 2x не имеет решений в множетсве рациональных чисел 8-))

[oulenspiegel.livejournal.com]

Ну это зависит от вероятности)
При нулевой вероятности успеха, всё равно, какой строить.
При (0; 50%] лучше строить большой:

Пусть вероятность успеха маленького p, тогда большого 2p. Вероятность неудачи обоих маленьких (1 - p) ^ 2. Вероятность неудачи большого 1 - 2p.
(1 - p) ^ 2 = 1 - 2p + p ^ 2 > 1 - 2p.

При [50%; 100%] задача не имеет смысла, т.к. 2p > 100%.
В связи с этим есть ещё одна тонкость. Как понимается утверждение о "в 2 раза большей вероятности"? Буквально, как 2p, или как p2 = 1 - (1 - p1) / 2.

[avva.livejournal.com]

буквально, да.

[(Anonymous)]

Большой. А два малых - это по принципу - числом поболе, ценою подешевле, это пагубный путь. Хотя в существующих условиях я возможно и ошибаюсь, но в целом...

[renivid.livejournal.com]

"у большого авианосца вероятность выполнить задание успешно в два раза больше, чем у малого" - это как понимать? Если у малого шанс выполнить задание 0,8, у большого - 1,6? Че за нах? Или это тонкий намек, на то что вероятность успеха малого должна быть меньше 0,5? Когда читаешь такое условие, сразу думается, что автор имел в виду, что вероятность провала в два раза ниже (так уже не будет проблем с вероятностями больше 1). Но и ответ в этом случае будет уже другой.

[avva.livejournal.com]

это как понимать?

буквально.

Или это тонкий намек, на то что вероятность успеха малого должна быть меньше 0,5?

Это в частности следует из сказанного, да. Может, мне стоило написать "вероятность успеха малого в два раза меньше вероятности успеха большого", тогда было бы яснее.

[ilya-dogolazky.livejournal.com]

отличная задача